Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5732
2017-12-15 
Песок является важнейшим природным сыпучим материалом, применяемым в строительстве. Параметрами, определяющими свойства сыпучего материала, являются его истинная плотность (плотность частиц материала) и насыпная плотность (средняя плотность сыпучего материала в неуплотненном состоянии). Оцените насыпную плотность песка, считая, что все песчинки имеют одинаковый размер, если его истинная плотность $\rho = 2600 кг/м^{3}$. Как насыпная плотность зависит от размера песчинок? Все необходимые для расчета величины выберите исходя из здравого смысла.
Решение:
Песчинки представляют собой маленькие кусочки диоксида кремния неправильной формы. Поэтому насыпная плотность песка зависит от степени его «уплотнения», когда «неправильности» песчинок находят друг друга, и насыпная плотность песка может приближаться к истинной. Если же никаких специальных усилий по уплотнению песка не предпринимается, между песчинками остаются пустоты, и его насыпная плотность может быть значительно меньше истинной. Оценим насыпную плотность. Будем для оценки считать, что песчинки представляют собой шарики одинакового радиуса $r$ (согласно условию считаем, что все песчинки имеют одинаковые размеры). Конечно, это предположение является приближенным, однако промежутки между песчинками неправильной формы без специальных усилий по уплотнению песка в каких-то случаях являются большими, в каких-то - меньшими, чем пустоты между шариками, и предположение о круглой форме песчинок для вычисления объема пустот является разумным. Пусть песок заполняет куб с ребром $a$. Тогда в кубе содержится $N \sim (a /2r)^{3}$ песчинок, имеющих суммарный объем
$V = N \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{1}{6} \pi a^{3}$.
Поэтому масса песка в объеме куба равна
$m = \rho V = \frac{1}{6} \pi \rho a^{3}$,
где $\rho$ - истинная плотность песка. Отсюда находим насыпную плотность песка, как отношение массы песка в объеме куба к его объему
$\rho_{0} = \frac{m}{a^{3}} = \frac{1}{6} \pi \rho \approx \frac{1}{2} \rho = 1300 кг/м^{3}$.
Как следует из этой формулы насыпная плотность приблизительно вдвое меньше истинной и не зависит от размера песчинок (при условии, что все они имеют одинаковый размер).
Можно предложить и модель более плотной «упаковки» песчинок. Модель, которая была рассмотрена выше, отвечала ситуации, изображенной на левом рисунке. Но если каждый последующий ряд сдвинуть относительно предыдущего слоя на величину радиуса песчинок, то расстояние между двумя слоями уменьшится в $2/ \sqrt{3} \approx 1,15$ раза, и плотность песка возрастет в такой же пропорции (в пренебрежении размером песчинок по сравнению с размером емкости), т. е. в $2 / \sqrt{3} \approx 1,15$ раза. Именно такой должна быть разность между плотностью песка в уплотненном и неуплотненном состояниях.
В случае разброса размеров песчинок насыпная плотность снижается по сравнению с вышеприведенной оценкой. Это связано с тем, что песчинки большого размера дают «матрицу», которая заполняется песчинками меньшего размера. В результате увеличиваются промежутки между песчинками, и насыпная плотность песка уменьшается.
Песок является важнейшим природным сыпучим материалом, применяемым в строительстве. Параметрами, определяющими свойства сыпучего материала, являются его истинная плотность (плотность частиц материала) и насыпная плотность (средняя плотность сыпучего материала в неуплотненном состоянии). Оцените насыпную плотность песка, считая, что все песчинки имеют одинаковый размер, если его истинная плотность $\rho = 2600 кг/м^{3}$. Как насыпная плотность зависит от размера песчинок? Все необходимые для расчета величины выберите исходя из здравого смысла.
Решение:
Песчинки представляют собой маленькие кусочки диоксида кремния неправильной формы. Поэтому насыпная плотность песка зависит от степени его «уплотнения», когда «неправильности» песчинок находят друг друга, и насыпная плотность песка может приближаться к истинной. Если же никаких специальных усилий по уплотнению песка не предпринимается, между песчинками остаются пустоты, и его насыпная плотность может быть значительно меньше истинной. Оценим насыпную плотность. Будем для оценки считать, что песчинки представляют собой шарики одинакового радиуса $r$ (согласно условию считаем, что все песчинки имеют одинаковые размеры). Конечно, это предположение является приближенным, однако промежутки между песчинками неправильной формы без специальных усилий по уплотнению песка в каких-то случаях являются большими, в каких-то - меньшими, чем пустоты между шариками, и предположение о круглой форме песчинок для вычисления объема пустот является разумным. Пусть песок заполняет куб с ребром $a$. Тогда в кубе содержится $N \sim (a /2r)^{3}$ песчинок, имеющих суммарный объем
$V = N \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{1}{6} \pi a^{3}$.
Поэтому масса песка в объеме куба равна
$m = \rho V = \frac{1}{6} \pi \rho a^{3}$,
где $\rho$ - истинная плотность песка. Отсюда находим насыпную плотность песка, как отношение массы песка в объеме куба к его объему
$\rho_{0} = \frac{m}{a^{3}} = \frac{1}{6} \pi \rho \approx \frac{1}{2} \rho = 1300 кг/м^{3}$.
Как следует из этой формулы насыпная плотность приблизительно вдвое меньше истинной и не зависит от размера песчинок (при условии, что все они имеют одинаковый размер).
Можно предложить и модель более плотной «упаковки» песчинок. Модель, которая была рассмотрена выше, отвечала ситуации, изображенной на левом рисунке. Но если каждый последующий ряд сдвинуть относительно предыдущего слоя на величину радиуса песчинок, то расстояние между двумя слоями уменьшится в $2/ \sqrt{3} \approx 1,15$ раза, и плотность песка возрастет в такой же пропорции (в пренебрежении размером песчинок по сравнению с размером емкости), т. е. в $2 / \sqrt{3} \approx 1,15$ раза. Именно такой должна быть разность между плотностью песка в уплотненном и неуплотненном состояниях.
В случае разброса размеров песчинок насыпная плотность снижается по сравнению с вышеприведенной оценкой. Это связано с тем, что песчинки большого размера дают «матрицу», которая заполняется песчинками меньшего размера. В результате увеличиваются промежутки между песчинками, и насыпная плотность песка уменьшается.
