Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5729
2017-12-15 
Храповым механизмом называется устройство, допускающее движение подвижных частей (зубчатых колес, штоков и др.) только в одном направлении. Во фрикционных храповых механизмах силой, препятствующей движению, является сила трения. На рисунке представлен фрикционный храповой механизм, состоящий из полого наклонного корпуса 1 и направляющей 2, которая может перемещаться в вправо или влево в отверстиях в корпусе. Между направляющей и наклонной гранью корпуса расположен маленький шарик 3. Объясните принцип работы механизма. Какое трение - между шариком и направляющей, шариком и корпусом, направляющей и корпусом обеспечивает его работу? В каком направлении - направо или налево - механизм препятствует движению направляющей? Считая, что коэффициент трения между шариком и направляющей равен $\mu$ и меньше коэффициента трения между шариком и корпусом, определите, при каком угле $\alpha$ храповой механизм не позволит направляющей перемещаться в одном из направлений при любой действующей на нее внешней силе.
Решение:
Очевидно, трение будет препятствовать вытаскиванию направляющей вправо, поскольку может возникнуть эффект заклинивания - сила трения между направляющей и шариком «потянет» шарик вправо, это приведет к увеличению сил реакции, что в свою очередь увеличит трение. Нарушение работы храпового механизма рассматриваемого типа может происходить в двух местах. При малом трении между шариком и направляющей направляющую можно вытащить вправо, и шарик не будет ей мешать, но при этом не будет вращаться, поскольку вращаться ему не позволит трение между ним и корпусом. При малом трении между шариком и корпусом проскальзывание между шариком и направляющей не будет возникать, но направляющую можно вытащить вправо, вращая шарик, поскольку его вращению не мешает трение между ним и корпусом. Таким образом, и трение между направляющей и шариком, и трение между шариком и корпусом необходимы для нормальной работы храпового механизма рассматриваемого типа, причем по условию нарушаться его работа будет при проскальзывании шарика относительно корпуса (там, по условию, меньше трение).
Пусть на направляющую действует горизонтальная сила $F$, направленная вправо. Пока механизм работает, шарик находится в равновесии. Поэтому применим к шарику условия равновесия и исследуем возможность их нарушения.
На шарик действуют - сила трения со стороны направляющей $\vec{F}_{тр1}$, направленная вправо и равная внешней силе, поскольку направляющая находится в равновесии, сила трения со стороны корпуса $\vec{F}_{тр2}$, направленная вправо вниз (по часовой стрелке, поскольку в отсутствии трения между шариком и корпусом шарик вращался бы против часовой стрелки, а трение препятствует этому вращению), сила реакции со стороны направляющей $\vec{N}_{1}$ и сила реакции со стороны корпуса $\vec{N}_{2}$ (см. рисунок). Условия равновесия шарика и направляющей дают:
уравнение сил (горизонтальная ось)
$N_{2} \sin \alpha - F_{тр2} \cos \alpha - F_{тр1} = 0$;
условие сил (вертикальная ось)
$N_{1} - N_{2} \cos \alpha - F_{тр2} \sin \alpha = 0$;
условие моментов (относительно центра шарика)
$F_{тр2} = F_{тр2}$;
условие равновесия направляющей
$F_{тр1} = F$,
где $\alpha$ - угол наклона наклонной грани корпуса (см. рисунок в условии задачи; силой тяжести шарика пренебрегаем по сравнению с силами реакции и трения). Из этой системы уравнений находим $N_{1}$ и $N_{2}$:
$N_{1} = N_{2} = \frac{(1 + \cos \alpha ) F}{ \sin \alpha}$.
С ростом внешней силы $\vec{F}$ растут силы реакции и максимальные значения сил трения. Поэтому равновесие не нарушится при любом значении внешней силы, если выполнено условие
$F_{тр2} < \mu N_{2}$ или $\mu \geq \frac{ \sin \alpha}{(1 + \cos \alpha)} = tg( \alpha /2)$
(при этом аналогичное условие между направляющей и шариком также не нарушится, поскольку силы реакции $N_{1}$ и $N_{2}$ одинаковы, а коэффициент трения между шариком и корпусом меньше коэффициента между шариком и направляющей). Отсюда получаем ограничение на угол наклона грани корпуса механизма
$\alpha \leq 2 arctg \mu$.
Храповым механизмом называется устройство, допускающее движение подвижных частей (зубчатых колес, штоков и др.) только в одном направлении. Во фрикционных храповых механизмах силой, препятствующей движению, является сила трения. На рисунке представлен фрикционный храповой механизм, состоящий из полого наклонного корпуса 1 и направляющей 2, которая может перемещаться в вправо или влево в отверстиях в корпусе. Между направляющей и наклонной гранью корпуса расположен маленький шарик 3. Объясните принцип работы механизма. Какое трение - между шариком и направляющей, шариком и корпусом, направляющей и корпусом обеспечивает его работу? В каком направлении - направо или налево - механизм препятствует движению направляющей? Считая, что коэффициент трения между шариком и направляющей равен $\mu$ и меньше коэффициента трения между шариком и корпусом, определите, при каком угле $\alpha$ храповой механизм не позволит направляющей перемещаться в одном из направлений при любой действующей на нее внешней силе.
Решение:
Очевидно, трение будет препятствовать вытаскиванию направляющей вправо, поскольку может возникнуть эффект заклинивания - сила трения между направляющей и шариком «потянет» шарик вправо, это приведет к увеличению сил реакции, что в свою очередь увеличит трение. Нарушение работы храпового механизма рассматриваемого типа может происходить в двух местах. При малом трении между шариком и направляющей направляющую можно вытащить вправо, и шарик не будет ей мешать, но при этом не будет вращаться, поскольку вращаться ему не позволит трение между ним и корпусом. При малом трении между шариком и корпусом проскальзывание между шариком и направляющей не будет возникать, но направляющую можно вытащить вправо, вращая шарик, поскольку его вращению не мешает трение между ним и корпусом. Таким образом, и трение между направляющей и шариком, и трение между шариком и корпусом необходимы для нормальной работы храпового механизма рассматриваемого типа, причем по условию нарушаться его работа будет при проскальзывании шарика относительно корпуса (там, по условию, меньше трение).
Пусть на направляющую действует горизонтальная сила $F$, направленная вправо. Пока механизм работает, шарик находится в равновесии. Поэтому применим к шарику условия равновесия и исследуем возможность их нарушения.
На шарик действуют - сила трения со стороны направляющей $\vec{F}_{тр1}$, направленная вправо и равная внешней силе, поскольку направляющая находится в равновесии, сила трения со стороны корпуса $\vec{F}_{тр2}$, направленная вправо вниз (по часовой стрелке, поскольку в отсутствии трения между шариком и корпусом шарик вращался бы против часовой стрелки, а трение препятствует этому вращению), сила реакции со стороны направляющей $\vec{N}_{1}$ и сила реакции со стороны корпуса $\vec{N}_{2}$ (см. рисунок). Условия равновесия шарика и направляющей дают:
уравнение сил (горизонтальная ось)
$N_{2} \sin \alpha - F_{тр2} \cos \alpha - F_{тр1} = 0$;
условие сил (вертикальная ось)
$N_{1} - N_{2} \cos \alpha - F_{тр2} \sin \alpha = 0$;
условие моментов (относительно центра шарика)
$F_{тр2} = F_{тр2}$;
условие равновесия направляющей
$F_{тр1} = F$,
где $\alpha$ - угол наклона наклонной грани корпуса (см. рисунок в условии задачи; силой тяжести шарика пренебрегаем по сравнению с силами реакции и трения). Из этой системы уравнений находим $N_{1}$ и $N_{2}$:
$N_{1} = N_{2} = \frac{(1 + \cos \alpha ) F}{ \sin \alpha}$.
С ростом внешней силы $\vec{F}$ растут силы реакции и максимальные значения сил трения. Поэтому равновесие не нарушится при любом значении внешней силы, если выполнено условие
$F_{тр2} < \mu N_{2}$ или $\mu \geq \frac{ \sin \alpha}{(1 + \cos \alpha)} = tg( \alpha /2)$
(при этом аналогичное условие между направляющей и шариком также не нарушится, поскольку силы реакции $N_{1}$ и $N_{2}$ одинаковы, а коэффициент трения между шариком и корпусом меньше коэффициента между шариком и направляющей). Отсюда получаем ограничение на угол наклона грани корпуса механизма
$\alpha \leq 2 arctg \mu$.
