Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5726
2017-12-15 
Колонны Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге изготовлены из гранита и имеют высоту $h = 30 м$. Оцените, на сколько сжаты колонны под действием собственной тяжести. Плотность гранита $\rho = 2,7 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, модуль Юнга $E = 5 \cdot 10^{10} Па$.
Указание. Модуль Юнга $E$ определяется как коэффициент пропорциональности между напряжением ($F / S$) и относительным удлинением образца ($\Delta l /l): F / S = E \Delta l /l$, где $F$ - сила, растягивающая или сжимающая образец; $S$ - площадь поперечного сечения образца; $\Delta l$ - его удлинение или укорочение; $l$ - первоначальная длина.
Решение:
В самом верху колонна не будет сжата, в середине - сжата половиной своего веса, внизу - всем своим весом. Поэтому оценим среднее относительное сжатие колонны как ее относительное сжатие посередине. Малый поперечный элемент колонны толщиной $l$ в ее середине сжимается половиной ее веса. Поэтому напряжение этого элемента $\sigma$ равно
$\sigma = \frac{F}{S} = \frac{ \rho gh}{2}$,
где $S$ - площадь сечения колонны. По закону Гука имеем для относительного сжатия $\epsilon$ рассматриваемого элемента
$\epsilon = \frac{ \Delta l}{l} = \frac{ \sigma }{E} = \frac{ \rho gh}{2E}$ (*)
где $\Delta l$ - деформация элемента. Если считать, что относительная деформация (*) будет у всей колонны, то ее полная деформация будет такой
$\Delta h = \epsilon h = \frac{ \rho gh^{2}}{2E} = 2,4 \cdot 10^{-4} м$.
Колонны Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге изготовлены из гранита и имеют высоту $h = 30 м$. Оцените, на сколько сжаты колонны под действием собственной тяжести. Плотность гранита $\rho = 2,7 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, модуль Юнга $E = 5 \cdot 10^{10} Па$.
Указание. Модуль Юнга $E$ определяется как коэффициент пропорциональности между напряжением ($F / S$) и относительным удлинением образца ($\Delta l /l): F / S = E \Delta l /l$, где $F$ - сила, растягивающая или сжимающая образец; $S$ - площадь поперечного сечения образца; $\Delta l$ - его удлинение или укорочение; $l$ - первоначальная длина.
Решение:
В самом верху колонна не будет сжата, в середине - сжата половиной своего веса, внизу - всем своим весом. Поэтому оценим среднее относительное сжатие колонны как ее относительное сжатие посередине. Малый поперечный элемент колонны толщиной $l$ в ее середине сжимается половиной ее веса. Поэтому напряжение этого элемента $\sigma$ равно
$\sigma = \frac{F}{S} = \frac{ \rho gh}{2}$,
где $S$ - площадь сечения колонны. По закону Гука имеем для относительного сжатия $\epsilon$ рассматриваемого элемента
$\epsilon = \frac{ \Delta l}{l} = \frac{ \sigma }{E} = \frac{ \rho gh}{2E}$ (*)
где $\Delta l$ - деформация элемента. Если считать, что относительная деформация (*) будет у всей колонны, то ее полная деформация будет такой
$\Delta h = \epsilon h = \frac{ \rho gh^{2}}{2E} = 2,4 \cdot 10^{-4} м$.
