2014-06-01
Метеорит, летящий на планету массой $M$ по прямой, проходящей через центр планеты), попадает в автоматическую космическую станцию, вращавшуюся вокруг планеты по круговой орбите радиуса $R$. Масса станции в 10 раз превосходит массу метеорита. В результате столкновения метеорит застревает в станции, которая переходит на новую орбиту с минимальным расстоянием до планеты $R/2$.
Определите скорость и метеорита перед столкновением.
Решение:
Пусть $v_{1}$ - скорость станции до столкновения, $v_{2}$ - скорость станции и метеорита сразу после столкновения, $m$ - масса метеорита, $10m$ - масса станции.
До столкновения станция двигалась вокруг планеты по круговой орбите радиуса $R$. поэтому скорость станции $v_{1}$ находится из уравнения
$10mv^{2}_{1}/R=G \cdot 10 mM/R^{2}$.
Отсюда $v_{1}=\sqrt{GM/R}$. Скорости $u, v_{1}$ и $v_{2}$, согласно закону сохранения импульса, связаны соотношением
$mu + 10 m v_{1} = 11mv_{2}$.
Напишем закон сохранения импульса в проекциях на оси х и у (рис.):
$10 m v_{1} = 11 m v_{2x}$, (1)
$mu = 11 m v_{2y}$. (2)
После столкновения станция переходит на эллиптическую орбиту. Энергия станции с застрявшим в ней метеоритом при движении по этой эллиптической орбите остается постоянной. Следовательно,
$-G \frac{11mM}{R} + \frac{11m}{2} (v^{2}_{2x} + v^{2}_{2y}) = - G \frac{11mM}{R/2} + \frac{11m}{2}V^{2}$, (3)
где $V$ - скорость станции в момент наибольшего сближения с планетой. Здесь мы используем формулу для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух тел ($m_{1}$ и $m_{2}$): $W_{п} = - G m_{1}m_{2}/r$. Согласно второму закону Кеплера, скорость $V$ и скорость $v_{2}$ станции сразу после столкновения связаны соотношением
$VR/2 = v_{2x}R$.
Решая совместно уравнения (1) - (4) и учитывая, что $v_{1} = \sqrt{GM/R}$, находим скорость метеорита перед столкновением:
$u = \sqrt{58GM/R}$.