Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5716
2017-12-15 
В винтовом прессе заготовка прижимается к опоре давящим штоком, который приводится в движение относительно рамы с помощью винта. Шаг резьбы винта (расстояние между ближайшими бороздками) - $h$. К рукоятке винта приложена сила, которая создает момент относительно оси винта $M$. С какой силой шток прижимает заготовку к опоре? Трение между всеми поверхностями отсутствует.
Решение:
В этой задаче рассматривается модель устройства, которое обеспечивает увеличение силы, - пресс или резьбовой домкрат. При действии на рукоятку винта небольшой силы можно получить значительные прижимающие усилия, при условии, что резьба имеет достаточно малый шаг (расстояние между соседними бороздками).
Итак, пусть угол подъема резьбы - $\alpha$. На шток действуют: искомая сила реакции со стороны заготовки $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, внешние («закручивающие») силы на рукоятку, создающие момент, и сила реакции со стороны резьбы. Пусть на малом интервале длины резьбы $\Delta x$ на шток действует сила реакции $\Delta \vec{N}$, перпендикулярная резьбе (перпендикулярная -так как нет трения; см. рисунок). Сумма вертикальных проекций силы $\Delta \vec{N}$, действующих на все ее участки, компенсирует силу $\vec{N}$ со стороны заготовки, проекции силы $\Delta \vec{N}$ на ось, перпендикулярную оси заготовки, создает момент, компенсирующий момент внешних сил $M$. Поэтому
$N = \frac{ \Delta N \cos \alpha}{ \Delta x} l$;
$M = \frac{ \Delta N \sin \alpha}{ \Delta x} IR$,
где $l$ - длина резьбы; $R$ - радиус штока. Деля первое соотношение на второе, получим
$M = NR tg \phi$. (1)
С другой стороны, для каждого участка резьбы длиной $\Delta x$ справедливы равенства
$\Delta x = \frac{ \Delta l}{ \cos \alpha}, \Delta x = \frac{ \Delta h}{ \sin \alpha}$,
где $\Delta l$ и $\Delta h$ - проекции участка рассматриваемого участка резьбы на перпендикулярное и продольное направление. Поэтому суммирование таких проекций по одному витку резьбы дает
$2 \pi R tg \alpha = h$,
где $h$ - шаг резьбы (расстояние между соседними бороздками). Отсюда и формулы (1) получаем
$N = \frac{2 \pi M}{h}$.
Из этой формулы следует, что, используя резьбу с маленьким шагом, можно получить существенный выигрыш в силе (который, однако, не может быть бесконечно большим (при $h \rightarrow 0$), так как такую нагрузку не выдержит резьба). Из-за значительного выигрыша в силе рассмотренная конструкция используется в механических домкратах.
Для знакомых с методом возможных перемещений отметим, что этим методом задача решается буквально в одно действие.
В винтовом прессе заготовка прижимается к опоре давящим штоком, который приводится в движение относительно рамы с помощью винта. Шаг резьбы винта (расстояние между ближайшими бороздками) - $h$. К рукоятке винта приложена сила, которая создает момент относительно оси винта $M$. С какой силой шток прижимает заготовку к опоре? Трение между всеми поверхностями отсутствует.
Решение:
В этой задаче рассматривается модель устройства, которое обеспечивает увеличение силы, - пресс или резьбовой домкрат. При действии на рукоятку винта небольшой силы можно получить значительные прижимающие усилия, при условии, что резьба имеет достаточно малый шаг (расстояние между соседними бороздками).
Итак, пусть угол подъема резьбы - $\alpha$. На шток действуют: искомая сила реакции со стороны заготовки $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, внешние («закручивающие») силы на рукоятку, создающие момент, и сила реакции со стороны резьбы. Пусть на малом интервале длины резьбы $\Delta x$ на шток действует сила реакции $\Delta \vec{N}$, перпендикулярная резьбе (перпендикулярная -так как нет трения; см. рисунок). Сумма вертикальных проекций силы $\Delta \vec{N}$, действующих на все ее участки, компенсирует силу $\vec{N}$ со стороны заготовки, проекции силы $\Delta \vec{N}$ на ось, перпендикулярную оси заготовки, создает момент, компенсирующий момент внешних сил $M$. Поэтому
$N = \frac{ \Delta N \cos \alpha}{ \Delta x} l$;
$M = \frac{ \Delta N \sin \alpha}{ \Delta x} IR$,
где $l$ - длина резьбы; $R$ - радиус штока. Деля первое соотношение на второе, получим
$M = NR tg \phi$. (1)
С другой стороны, для каждого участка резьбы длиной $\Delta x$ справедливы равенства
$\Delta x = \frac{ \Delta l}{ \cos \alpha}, \Delta x = \frac{ \Delta h}{ \sin \alpha}$,
где $\Delta l$ и $\Delta h$ - проекции участка рассматриваемого участка резьбы на перпендикулярное и продольное направление. Поэтому суммирование таких проекций по одному витку резьбы дает
$2 \pi R tg \alpha = h$,
где $h$ - шаг резьбы (расстояние между соседними бороздками). Отсюда и формулы (1) получаем
$N = \frac{2 \pi M}{h}$.
Из этой формулы следует, что, используя резьбу с маленьким шагом, можно получить существенный выигрыш в силе (который, однако, не может быть бесконечно большим (при $h \rightarrow 0$), так как такую нагрузку не выдержит резьба). Из-за значительного выигрыша в силе рассмотренная конструкция используется в механических домкратах.
Для знакомых с методом возможных перемещений отметим, что этим методом задача решается буквально в одно действие.
