Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5713
2017-12-15 
Диск радиусом $R$ обкатывает неподвижный диск радиусом $2R$ (т.е. движется по поверхности большого диска без проскальзывания; левый рисунок). Сколько оборотов вокруг своей оси совершит малый диск, когда его центр повернется на угол $\Delta \phi$ вокруг большого? Второй раз диск радиусом $R$ движется без проскальзывания по внутренней поверхности полого цилиндра радиусом $2R$ (правый рисунок), также поворачиваясь на угол $\Delta \phi$. Сколько оборотов вокруг своей оси совершит малый диск в этом случае?
Решение:
Сначала рассмотрим движение малого диска по внешней поверхности большого. Пусть малый диск повернулся на угол $\Delta \phi$ вокруг большого (см. рисунок). Если бы малый диск не вращался вокруг своей оси (для этого он должен был бы проскальзывать по большому), его радиус, связывающий точку, которой он касался большого диска с его центром в начальном положении, остался бы параллельным
самому себе и в конечном положении (эта точка отмечена на рисунке цифрой 1). Поэтому угол между отрезком, связывающим центры дисков в конечном положении, и радиусом малого диска, проведенным в точку 1, был бы равен $\Delta \phi$ (на рисунке этот угол отмечен дугой). Из-за отсутствия проскальзывания рассматриваемая точка вращается по часовой стрелке и окажется в положении 2, причем из-за отсутствия проскальзывания длина дуги малого диска, связывающая точку 2 и точку касания дисков в конечном положении, будет равна длине дуги большого диска между точками касания малого диска в начальном и конечном положении, т. е. $2R \Delta \phi$. Таким образом, длина дуги между точками 1 и 2 равна $R \Delta \phi + 2 R \Delta \phi = 3 R \Delta \phi$, и, следовательно, малый диск повернется на угол $3 \Delta \phi$ вокруг своей оси. А значит, число оборотов малого диска вокруг своей оси $n$ будет равно
$n = \frac{3 \Delta \phi}{2 \pi}$.
Аналогично рассматривается движение малого диска по внутренней поверхности большого. Однако, как легко увидеть, углы его поворота вокруг большого и своей оси будут вычитаться (а не складываться, как в первом случае), поэтому при повороте малого диска вокруг большого на угол $\Delta \phi$ он совершит $n_{1} = \frac{ \Delta \phi}{2 \pi}$ оборотов вокруг своей оси.
Можно предложить и другое решение задачи. Согласно решению задачи 3.5 при качении колеса без проскальзывания скорость центра колеса совпадает со скоростью точек на ободе в системе отсчета, связанной с его центром. А последняя как раз и определяет скорость обращения колеса вокруг своей оси. Другими словами, если центр колеса проходит расстояние $2 \pi R$, оно поворачивается на один оборот вокруг центра. Вернемся теперь к дискам. При качении диска радиусом $R$ по внешней поверхности диска радиусом $2R$ центр малого диска вращается по окружности радиусом $3R$. Таким образом, при совершении полного оборота вокруг большого диска центр малого диска проходит расстояние $2 \pi \cdot 3R = 6 \pi R$, а, следовательно, сам малый диск совершает три оборота вокруг своей оси.
Если малый диск движется по внутренней поверхности цилиндрической полости радиусом $2R$, его центр движется по окружности радиусом $R$ и при совершении малым диском одного оборота в полости он совершает один оборот вокруг своей оси.
Диск радиусом $R$ обкатывает неподвижный диск радиусом $2R$ (т.е. движется по поверхности большого диска без проскальзывания; левый рисунок). Сколько оборотов вокруг своей оси совершит малый диск, когда его центр повернется на угол $\Delta \phi$ вокруг большого? Второй раз диск радиусом $R$ движется без проскальзывания по внутренней поверхности полого цилиндра радиусом $2R$ (правый рисунок), также поворачиваясь на угол $\Delta \phi$. Сколько оборотов вокруг своей оси совершит малый диск в этом случае?
Решение:
Сначала рассмотрим движение малого диска по внешней поверхности большого. Пусть малый диск повернулся на угол $\Delta \phi$ вокруг большого (см. рисунок). Если бы малый диск не вращался вокруг своей оси (для этого он должен был бы проскальзывать по большому), его радиус, связывающий точку, которой он касался большого диска с его центром в начальном положении, остался бы параллельным
самому себе и в конечном положении (эта точка отмечена на рисунке цифрой 1). Поэтому угол между отрезком, связывающим центры дисков в конечном положении, и радиусом малого диска, проведенным в точку 1, был бы равен $\Delta \phi$ (на рисунке этот угол отмечен дугой). Из-за отсутствия проскальзывания рассматриваемая точка вращается по часовой стрелке и окажется в положении 2, причем из-за отсутствия проскальзывания длина дуги малого диска, связывающая точку 2 и точку касания дисков в конечном положении, будет равна длине дуги большого диска между точками касания малого диска в начальном и конечном положении, т. е. $2R \Delta \phi$. Таким образом, длина дуги между точками 1 и 2 равна $R \Delta \phi + 2 R \Delta \phi = 3 R \Delta \phi$, и, следовательно, малый диск повернется на угол $3 \Delta \phi$ вокруг своей оси. А значит, число оборотов малого диска вокруг своей оси $n$ будет равно
$n = \frac{3 \Delta \phi}{2 \pi}$.
Аналогично рассматривается движение малого диска по внутренней поверхности большого. Однако, как легко увидеть, углы его поворота вокруг большого и своей оси будут вычитаться (а не складываться, как в первом случае), поэтому при повороте малого диска вокруг большого на угол $\Delta \phi$ он совершит $n_{1} = \frac{ \Delta \phi}{2 \pi}$ оборотов вокруг своей оси.
Можно предложить и другое решение задачи. Согласно решению задачи 3.5 при качении колеса без проскальзывания скорость центра колеса совпадает со скоростью точек на ободе в системе отсчета, связанной с его центром. А последняя как раз и определяет скорость обращения колеса вокруг своей оси. Другими словами, если центр колеса проходит расстояние $2 \pi R$, оно поворачивается на один оборот вокруг центра. Вернемся теперь к дискам. При качении диска радиусом $R$ по внешней поверхности диска радиусом $2R$ центр малого диска вращается по окружности радиусом $3R$. Таким образом, при совершении полного оборота вокруг большого диска центр малого диска проходит расстояние $2 \pi \cdot 3R = 6 \pi R$, а, следовательно, сам малый диск совершает три оборота вокруг своей оси.
Если малый диск движется по внутренней поверхности цилиндрической полости радиусом $2R$, его центр движется по окружности радиусом $R$ и при совершении малым диском одного оборота в полости он совершает один оборот вокруг своей оси.
