Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5707
2017-12-15 
Плавкий предохранитель представляет собой кусочек проволоки, который плавится, если сила тока через него превышает значение $I = 1 А$. Оценить, при каком токе перегорит предохранитель, изготовленный из проволоки того же материала, но с втрое большей длиной, и вчетверо большим диаметром. Считать, что теплоотдача пропорциональна разности температур проволоки и окружающей среды и площади поверхности проволоки.
Решение:
При коротком замыкании бытовых электрических сетей (т.е. замыкании полюсов бытовых розеток проводами с малым сопротивлением) в этих проводах будет выделяться очень большое тепло, что может привести к пожару. Поэтому в бытовых сетях необходимо использовать предохранители, которые бы разрывали цепи в случае короткого замыкания.
Одна конструкция предохранителя, использующего биметаллическую пластинку, разбиралась в одной из задач инженерной олимпиады. Здесь рассматривается другая конструкция - плавкий предохранитель (в настоящее время используется очень редко). Плавкий предохранитель содержит проводник с небольшой температурой плавления, как правило, из олова или свинца. При коротком замыкании этот проводник плавится (пока еще не начался пожар), и электрическая цепь разрывается. Оценим температуру плавления предохранителя.
При протекании тока в предохранителе выделяется джоулево тепло, и он нагревается. Одновременно идет процесс теплопотерь, интенсивность которого увеличивается с ростом его температуры. Поэтому при протекании тока у предохранителя устанавливается некоторая температура, которая не возрастает с течением времени и которая, конечно, зависит от протекающего тока. По условию при токе в предохранителе, равном 1 А, он разогревается до температуры плавления. Поскольку потери тепла каким-то телом пропорциональны площади поверхности тела и разности температур тела и окружающей среды, то для тока $I_{0} = 1 А$ справедливо следующее уравнение теплового баланса
$I_{0}^{2} \frac{ \rho l}{ \pi r^{2}} = \lambda 2 \pi rl (T_{пл} - T_{окр} )$,
где $\rho$ - удельное сопротивление материала предохранителя; $l$ и $r$ - его длина и радиус сечения; $T_{пл}$ и $T_{окр}$ - температуры предохранителя и окружающей среды; $\lambda$ - коэффициент пропорциональности. Отсюда находим
$\lambda (T_{пл} - T_{окр} ) = \frac{ I_{0}^{2} \rho }{ 2 \pi^{2} r^{3} }$. (*)
Из формулы (*) видно, что если увеличить радиус сечения проводника (при том же токе), то из-за большей теплоотдачи (больше площадь поверхности) и уменьшения тепловыделения (меньше сопротивление) его температура станет меньше температуры плавления, и он не расплавится. Поэтому для плавления нужно увеличить ток в предохранителе. Если радиус сечения (или диаметр) увеличивается в 4 раза, знаменатель формулы (*) - в 64 раза, значит, и числитель нужно увеличить в 64 раза. Таким образом, ток нужно увеличить в $\sqrt{64}$ = 8 раз. Это значит, что такой предохранитель расплавится при токе 8 А. Как видно из (*), от длины предохранителя его температура не зависит (при условии, что его сопротивление мало по сравнению с другими сопротивлениями цепи и его изменение не меняет ток в цепи).
Плавкий предохранитель представляет собой кусочек проволоки, который плавится, если сила тока через него превышает значение $I = 1 А$. Оценить, при каком токе перегорит предохранитель, изготовленный из проволоки того же материала, но с втрое большей длиной, и вчетверо большим диаметром. Считать, что теплоотдача пропорциональна разности температур проволоки и окружающей среды и площади поверхности проволоки.
Решение:
При коротком замыкании бытовых электрических сетей (т.е. замыкании полюсов бытовых розеток проводами с малым сопротивлением) в этих проводах будет выделяться очень большое тепло, что может привести к пожару. Поэтому в бытовых сетях необходимо использовать предохранители, которые бы разрывали цепи в случае короткого замыкания.
Одна конструкция предохранителя, использующего биметаллическую пластинку, разбиралась в одной из задач инженерной олимпиады. Здесь рассматривается другая конструкция - плавкий предохранитель (в настоящее время используется очень редко). Плавкий предохранитель содержит проводник с небольшой температурой плавления, как правило, из олова или свинца. При коротком замыкании этот проводник плавится (пока еще не начался пожар), и электрическая цепь разрывается. Оценим температуру плавления предохранителя.
При протекании тока в предохранителе выделяется джоулево тепло, и он нагревается. Одновременно идет процесс теплопотерь, интенсивность которого увеличивается с ростом его температуры. Поэтому при протекании тока у предохранителя устанавливается некоторая температура, которая не возрастает с течением времени и которая, конечно, зависит от протекающего тока. По условию при токе в предохранителе, равном 1 А, он разогревается до температуры плавления. Поскольку потери тепла каким-то телом пропорциональны площади поверхности тела и разности температур тела и окружающей среды, то для тока $I_{0} = 1 А$ справедливо следующее уравнение теплового баланса
$I_{0}^{2} \frac{ \rho l}{ \pi r^{2}} = \lambda 2 \pi rl (T_{пл} - T_{окр} )$,
где $\rho$ - удельное сопротивление материала предохранителя; $l$ и $r$ - его длина и радиус сечения; $T_{пл}$ и $T_{окр}$ - температуры предохранителя и окружающей среды; $\lambda$ - коэффициент пропорциональности. Отсюда находим
$\lambda (T_{пл} - T_{окр} ) = \frac{ I_{0}^{2} \rho }{ 2 \pi^{2} r^{3} }$. (*)
Из формулы (*) видно, что если увеличить радиус сечения проводника (при том же токе), то из-за большей теплоотдачи (больше площадь поверхности) и уменьшения тепловыделения (меньше сопротивление) его температура станет меньше температуры плавления, и он не расплавится. Поэтому для плавления нужно увеличить ток в предохранителе. Если радиус сечения (или диаметр) увеличивается в 4 раза, знаменатель формулы (*) - в 64 раза, значит, и числитель нужно увеличить в 64 раза. Таким образом, ток нужно увеличить в $\sqrt{64}$ = 8 раз. Это значит, что такой предохранитель расплавится при токе 8 А. Как видно из (*), от длины предохранителя его температура не зависит (при условии, что его сопротивление мало по сравнению с другими сопротивлениями цепи и его изменение не меняет ток в цепи).
