Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5706
2017-12-15 
Планетарная передача (см. рисунок и схему) состоит из центральной (солнечной) шестерни (1 на рисунке), внешней (коронной) шестерни (2) и трех-четырех шестерен-спутников (3), которые соединены друг с другом с помощью жесткой конструкции - водила (4), и могут вращаться вокруг своей оси каждая и все вместе вокруг солнечной шестерни, вращая водило. Такая передача позволяет передавать мощность от солнечной шестерни на коронную шестерню и водило в разных пропорциях. Передачи такого типа используются в дифференциалах автомобилей или автоматических коробках передач. Пусть радиус солнечной шестерни - $R$, внутренний радиус коронной шестерни - $2R$, угловая скорость солнечной шестерни $\omega$, коронной - $4 \omega$, коронная и солнечная шестерни вращаются в одном направлении. Найти угловые скорости вращения шестерен-спутников вокруг своих осей и угловую скорость водила. Какой будет угловая скорость водила, если угловая скорость солнечной шестерни $\omega$, а коронная шестерня заблокирована? Какой будет угловая скорость коронной шестерни, если угловая скорость солнечной шестерни с , а водило заблокировано? Каким образом можно использовать планетарную передачу в дифференциалах автомобилей?
Решение:
Планетарная передача работает таким образом, что вращение с центральной (солнечной) шестерни передается одновременно водилу и коронной шестерне, причем кинематически распределение вращения между ними не определяется (недостаточно кинематических связей). Это позволяет в зависимости от момента торможения коронной шестерни и водила передавать им разное вращение. Такая передача вращения происходит в дифференциалах автомобилей (особый шарнир, дающий определенную «автономию» колесам автомобиля и передающий мощность правому и левому колесам по-разному в зависимости от условий движения колес) и в автоматических коробках передач.
Рассмотрим работу планетарной передачи. Во-первых, заметим, что поскольку шестерни друг относительно друга не проскальзывают (зубчатое зацепление), линейные скорости точек на поверхностях шестерен совпадают.
Пусть центральная (солнечная) шестерня вращается с угловой скоростью $\omega$, а ее радиус $R$. Тогда линейная скорость точек на поверхности солнечной шестерни равна $\omega R$; такой же является и линейная скорость точек на поверхности шестерен-спутников, касающихся солнечной. Линейная скорость точек на внешней стороне шестерен-спутников равна линейной скорости точек на внутренней поверхности коронной шестерни, т.е. $8 \omega R$. Далее, в системе отсчета, связанной с центром шестерни-спутника, ее движение является вращением вокруг центра. Поэтому все точки на поверхности шестерни имеют одинаковые по величине скорости, причем для точек, касающихся солнечной и коронной шестерен эти скорости противоположно направлены. Пусть эти скорости равны $v_{0}$, а скорость центра шестерни-спутника - $v_{1}$. Тогда по закону сложения скоростей имеем
$\omega R = v_{1} + v_{0}$; (*)
$8 \omega R = v_{1} + v_{0}$.
Складывая и вычитая эти уравнения, найдем линейную скорость центра спутниковой шестерни и скорость вращения точек ее поверхности в системе отсчета, связанной с ее центром
$v_{1} = 4,5 \omega R, v_{0} = 3,5 \omega R$.
А поскольку радиус спутниковых шестерен - $R$, их центры находятся на расстоянии $1,5R$ от оси водила, то угловые скорости спутниковых шестерен и водила равны
$\omega_{спут} = \frac{3,5 \omega R}{ (R/2) } = 7 \omega, \omega_{вод} = \frac{ 4,5 \omega R}{1,5R} = 3 \omega$.
Если коронная шестерня заблокирована, то спутниковые шестерни будут вращаться в противоположном направлении (против часовой стрелки), точки этих шестерен, касающиеся центральной и коронной шестерен, имеют скорости $\omega R$ и 0 соответственно, и из системы уравнений, аналогичной (*)
$\omega R = v_{1} - v_{0}$;
$0 = v_{1} + v_{0}$,
находим
$\omega_{спут} = - \frac{0,5 \omega R}{(R/2)} = - \omega , \omega_{вод} = \frac{0,5 \omega R}{1,5R} = \frac{ \omega}{3}$
(знак минус означает, что шестерни-спутники вращаются в противоположную сторону - против часовой стрелки). Если заблокировано водило, то каждая спутниковая шестерня вращается только вокруг своей оси, и, следовательно, точки на их поверхности имеют линейные скорости, равные $\omega R$. Поэтому и внутренние точки коронной шестерни имеют такую же линейную скорость, а поскольку они находятся на расстоянии $2R$ от ее центра, то коронная шестерня в этом случае вращается в противоположную сторону с угловой скоростью $\omega /2$.
Используется планетарная передача так. Пусть необходимо передать мощность от двигателя автомобиля колесам. Причем насаживать колеса на одну и ту же ось (колесная пара) плохо, поскольку в этом случае колеса вращаются одинаково, и, следовательно, при поворотах или одно или оба колеса будут «пробуксововать» относительно дорожного полотна (что негативно сказывается на управляемости автомобиля и увеличивает износ шин, см. задачу 5700). Поэтому ось вращения правого и левого колеса нужно «разрывать» и передавать мощность правому и левому колесу по-разному. И вот здесь помогает дифференциал - особый шарнир, использующий планетарную передачу, основная идея которого заключается в следующем.
Пусть мощность от двигателя поступает на солнечную шестерню планетарного механизма, правое колесо связано с водилом, левое - с коронной шестерной. Тогда согласно рассмотренной задаче возможны разные режимы вращения колес: можно заблокировать одну из этих осей, вся мощность двигателя будет передаваться второй оси. А если обе оси не заблокированы? Тогда мощность двигателя будет передаваться обеим осям, причем в зависимости от момента сопротивления. Поэтому, как только одно из колес начинает проскальзывать, сила трения достигает максимума, увеличивается момент сопротивления, и дифференциал передает этой оси меньшую мощность, что приводит к уменьшению ее вращения и прекращения пробуксовывания.
В некоторых случаях, однако, дифференциал может «мешать» эффективно управлять машиной. Если, например, одно колесо попадает на лед, а другое находится на асфальте, дифференциал передаст всю мощность двигателя тому колесу, которое находится на льду. Это может привести к снижению управляемости и даже к развороту машины. Многие современные машины оснащены системой блокировки дифференциала, которые в ситуациях, когда колеса движутся, очень по-разному его отключают.
Планетарная передача (см. рисунок и схему) состоит из центральной (солнечной) шестерни (1 на рисунке), внешней (коронной) шестерни (2) и трех-четырех шестерен-спутников (3), которые соединены друг с другом с помощью жесткой конструкции - водила (4), и могут вращаться вокруг своей оси каждая и все вместе вокруг солнечной шестерни, вращая водило. Такая передача позволяет передавать мощность от солнечной шестерни на коронную шестерню и водило в разных пропорциях. Передачи такого типа используются в дифференциалах автомобилей или автоматических коробках передач. Пусть радиус солнечной шестерни - $R$, внутренний радиус коронной шестерни - $2R$, угловая скорость солнечной шестерни $\omega$, коронной - $4 \omega$, коронная и солнечная шестерни вращаются в одном направлении. Найти угловые скорости вращения шестерен-спутников вокруг своих осей и угловую скорость водила. Какой будет угловая скорость водила, если угловая скорость солнечной шестерни $\omega$, а коронная шестерня заблокирована? Какой будет угловая скорость коронной шестерни, если угловая скорость солнечной шестерни с , а водило заблокировано? Каким образом можно использовать планетарную передачу в дифференциалах автомобилей?
Решение:
Планетарная передача работает таким образом, что вращение с центральной (солнечной) шестерни передается одновременно водилу и коронной шестерне, причем кинематически распределение вращения между ними не определяется (недостаточно кинематических связей). Это позволяет в зависимости от момента торможения коронной шестерни и водила передавать им разное вращение. Такая передача вращения происходит в дифференциалах автомобилей (особый шарнир, дающий определенную «автономию» колесам автомобиля и передающий мощность правому и левому колесам по-разному в зависимости от условий движения колес) и в автоматических коробках передач.
Рассмотрим работу планетарной передачи. Во-первых, заметим, что поскольку шестерни друг относительно друга не проскальзывают (зубчатое зацепление), линейные скорости точек на поверхностях шестерен совпадают.
Пусть центральная (солнечная) шестерня вращается с угловой скоростью $\omega$, а ее радиус $R$. Тогда линейная скорость точек на поверхности солнечной шестерни равна $\omega R$; такой же является и линейная скорость точек на поверхности шестерен-спутников, касающихся солнечной. Линейная скорость точек на внешней стороне шестерен-спутников равна линейной скорости точек на внутренней поверхности коронной шестерни, т.е. $8 \omega R$. Далее, в системе отсчета, связанной с центром шестерни-спутника, ее движение является вращением вокруг центра. Поэтому все точки на поверхности шестерни имеют одинаковые по величине скорости, причем для точек, касающихся солнечной и коронной шестерен эти скорости противоположно направлены. Пусть эти скорости равны $v_{0}$, а скорость центра шестерни-спутника - $v_{1}$. Тогда по закону сложения скоростей имеем
$\omega R = v_{1} + v_{0}$; (*)
$8 \omega R = v_{1} + v_{0}$.
Складывая и вычитая эти уравнения, найдем линейную скорость центра спутниковой шестерни и скорость вращения точек ее поверхности в системе отсчета, связанной с ее центром
$v_{1} = 4,5 \omega R, v_{0} = 3,5 \omega R$.
А поскольку радиус спутниковых шестерен - $R$, их центры находятся на расстоянии $1,5R$ от оси водила, то угловые скорости спутниковых шестерен и водила равны
$\omega_{спут} = \frac{3,5 \omega R}{ (R/2) } = 7 \omega, \omega_{вод} = \frac{ 4,5 \omega R}{1,5R} = 3 \omega$.
Если коронная шестерня заблокирована, то спутниковые шестерни будут вращаться в противоположном направлении (против часовой стрелки), точки этих шестерен, касающиеся центральной и коронной шестерен, имеют скорости $\omega R$ и 0 соответственно, и из системы уравнений, аналогичной (*)
$\omega R = v_{1} - v_{0}$;
$0 = v_{1} + v_{0}$,
находим
$\omega_{спут} = - \frac{0,5 \omega R}{(R/2)} = - \omega , \omega_{вод} = \frac{0,5 \omega R}{1,5R} = \frac{ \omega}{3}$
(знак минус означает, что шестерни-спутники вращаются в противоположную сторону - против часовой стрелки). Если заблокировано водило, то каждая спутниковая шестерня вращается только вокруг своей оси, и, следовательно, точки на их поверхности имеют линейные скорости, равные $\omega R$. Поэтому и внутренние точки коронной шестерни имеют такую же линейную скорость, а поскольку они находятся на расстоянии $2R$ от ее центра, то коронная шестерня в этом случае вращается в противоположную сторону с угловой скоростью $\omega /2$.
Используется планетарная передача так. Пусть необходимо передать мощность от двигателя автомобиля колесам. Причем насаживать колеса на одну и ту же ось (колесная пара) плохо, поскольку в этом случае колеса вращаются одинаково, и, следовательно, при поворотах или одно или оба колеса будут «пробуксововать» относительно дорожного полотна (что негативно сказывается на управляемости автомобиля и увеличивает износ шин, см. задачу 5700). Поэтому ось вращения правого и левого колеса нужно «разрывать» и передавать мощность правому и левому колесу по-разному. И вот здесь помогает дифференциал - особый шарнир, использующий планетарную передачу, основная идея которого заключается в следующем.
Пусть мощность от двигателя поступает на солнечную шестерню планетарного механизма, правое колесо связано с водилом, левое - с коронной шестерной. Тогда согласно рассмотренной задаче возможны разные режимы вращения колес: можно заблокировать одну из этих осей, вся мощность двигателя будет передаваться второй оси. А если обе оси не заблокированы? Тогда мощность двигателя будет передаваться обеим осям, причем в зависимости от момента сопротивления. Поэтому, как только одно из колес начинает проскальзывать, сила трения достигает максимума, увеличивается момент сопротивления, и дифференциал передает этой оси меньшую мощность, что приводит к уменьшению ее вращения и прекращения пробуксовывания.
В некоторых случаях, однако, дифференциал может «мешать» эффективно управлять машиной. Если, например, одно колесо попадает на лед, а другое находится на асфальте, дифференциал передаст всю мощность двигателя тому колесу, которое находится на льду. Это может привести к снижению управляемости и даже к развороту машины. Многие современные машины оснащены системой блокировки дифференциала, которые в ситуациях, когда колеса движутся, очень по-разному его отключают.
