Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5703
2017-12-15 
Температура на улице $t_{0} = - 20^{ \circ} С$. Если в доме с кирпичными стенами включить нагреватель, через некоторое время в доме устанавливается температура $t_{1} = 1^{ \circ} С$. Какой будет температура в доме, если внутреннюю поверхность стен обложить теплоизолирующим материалом, толщина которого в 15 раз меньше толщины кирпича, а коэффициент теплопроводности в 10 раз меньше коэффициента теплопроводности кирпича? Мощность нагревателя и температура на улице не менялись. Где выгоднее располагать теплоизолятор для лучшего сохранения тепла - внутри или снаружи дома и почему? Считать, что потери тепла происходят только через стены.
Указание. Количество тепла $q$, переносимого в единицу времени через единицу площади тонкого слоя толщиной $\Delta x$, одна поверхность которого поддерживается при температуре $t_{1}$, вторая - при температуре $t_{2}$, определяется законом Фурье: $q = \lambda (t_{2} - t_{1}) / \Delta x$, где $\lambda$ - коэффициент теплопроводности слоя.
Решение:
Пусть мощность нагревателя равна $P$. В установившемся режиме все тепло, выделенное нагревателем, должно уходить через стены (если бы уходило меньше, дом нагревался, если больше -охлаждался). Поэтому
$P = \frac{ \lambda ( t_{1} - t_{0} )S}{ \Delta t}$,
где $\lambda$ - коэффициент теплопроводности кирпича; $\Delta l$ - толщина кирпичной стены; $S$ - площадь стен.
После установки теплоизолирующего материала внутри дома поток тепла через стены останется неизменным (внутри дома работает тот же нагреватель); не изменилась и температура на улице. Поэтому температура внутренней поверхности кирпичной стены не изменилась. Пусть температура в доме после установки теплоизолирующего материала стала равна $t_{2}$. Тогда поток тепла через теплоизолирующий материал, с одной стороны, определяется законом Фурье
$\frac{( \lambda /10)(t_{2} - t_{1})S}{ ( \Delta l / 15)}$.
С другой стороны, этот поток равен потоку через кирпичную стену. Поэтому
$\frac{ \lambda (t_{1} - t_{0} )S}{ \Delta l} = \frac{ ( \lambda /10)(t_{2} - t_{1} )S}{ \Delta l /15) }$.
Отсюда
$t_{2} = t_{1} + \frac{2}{3} (t_{1} - t_{0} ) = 15^{ \circ} С$,
где располагать теплоизолятор - внутри или снаружи - с точки зрения теплоизоляции совершенно не важно, если пренебречь изменением площади теплопередающей поверхности теплоизолятора. Температура в доме будет такой же. Действительно, в установившемся режиме поток тепла, который определяется разностью температур двух поверхностей стены и теплоизоляции и площадями их поверхностей, равен мощности внутреннего источника тепла. Поэтому разности температур двух поверхностей стены и теплоизоляции не зависят от расположения теплоизоляции - внутри или снаружи дома. Поэтому и разность температур - «улица-дом» не зависит от порядка расположения теплоизолятора.
Температура на улице $t_{0} = - 20^{ \circ} С$. Если в доме с кирпичными стенами включить нагреватель, через некоторое время в доме устанавливается температура $t_{1} = 1^{ \circ} С$. Какой будет температура в доме, если внутреннюю поверхность стен обложить теплоизолирующим материалом, толщина которого в 15 раз меньше толщины кирпича, а коэффициент теплопроводности в 10 раз меньше коэффициента теплопроводности кирпича? Мощность нагревателя и температура на улице не менялись. Где выгоднее располагать теплоизолятор для лучшего сохранения тепла - внутри или снаружи дома и почему? Считать, что потери тепла происходят только через стены.
Указание. Количество тепла $q$, переносимого в единицу времени через единицу площади тонкого слоя толщиной $\Delta x$, одна поверхность которого поддерживается при температуре $t_{1}$, вторая - при температуре $t_{2}$, определяется законом Фурье: $q = \lambda (t_{2} - t_{1}) / \Delta x$, где $\lambda$ - коэффициент теплопроводности слоя.
Решение:
Пусть мощность нагревателя равна $P$. В установившемся режиме все тепло, выделенное нагревателем, должно уходить через стены (если бы уходило меньше, дом нагревался, если больше -охлаждался). Поэтому
$P = \frac{ \lambda ( t_{1} - t_{0} )S}{ \Delta t}$,
где $\lambda$ - коэффициент теплопроводности кирпича; $\Delta l$ - толщина кирпичной стены; $S$ - площадь стен.
После установки теплоизолирующего материала внутри дома поток тепла через стены останется неизменным (внутри дома работает тот же нагреватель); не изменилась и температура на улице. Поэтому температура внутренней поверхности кирпичной стены не изменилась. Пусть температура в доме после установки теплоизолирующего материала стала равна $t_{2}$. Тогда поток тепла через теплоизолирующий материал, с одной стороны, определяется законом Фурье
$\frac{( \lambda /10)(t_{2} - t_{1})S}{ ( \Delta l / 15)}$.
С другой стороны, этот поток равен потоку через кирпичную стену. Поэтому
$\frac{ \lambda (t_{1} - t_{0} )S}{ \Delta l} = \frac{ ( \lambda /10)(t_{2} - t_{1} )S}{ \Delta l /15) }$.
Отсюда
$t_{2} = t_{1} + \frac{2}{3} (t_{1} - t_{0} ) = 15^{ \circ} С$,
где располагать теплоизолятор - внутри или снаружи - с точки зрения теплоизоляции совершенно не важно, если пренебречь изменением площади теплопередающей поверхности теплоизолятора. Температура в доме будет такой же. Действительно, в установившемся режиме поток тепла, который определяется разностью температур двух поверхностей стены и теплоизоляции и площадями их поверхностей, равен мощности внутреннего источника тепла. Поэтому разности температур двух поверхностей стены и теплоизоляции не зависят от расположения теплоизоляции - внутри или снаружи дома. Поэтому и разность температур - «улица-дом» не зависит от порядка расположения теплоизолятора.
