Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5702
2017-12-15 
Светофор создает автомобильную «пробку». При включении красного и зеленого сигнала на одинаковое время (время горения желтого - мало) средняя (за несколько периодов включения-выключения светофора) скорость перемещения машин в «пробке» составила $v = 1 м/с$. При этом скорость движения каждой машины (когда она ехала) составляла $u = 6 м/с$. В чем причина отличия средней скорости перемещения машин в «пробке» от половины скорости их движения? Во сколько раз вырастет средняя скорость машины в «пробке» при увеличении скорости их движения в 2 раза? Считать, что поток машин «не перемешивается», все водители дисциплинированы и трогаются, когда стоящая впереди машина уже поехала; машины либо движутся со скоростью $u$ (или $2u$ во втором случае), либо стоят.
Решение:
Математический анализ дорожного движения, и в частности, динамики автомобильных пробок позволяет организовать движение так, чтобы эти самые пробки минимизировать. Рассмотрим вопрос о влиянии светофора на пробку в связи с неодновременным троганием машин с места.
Очевидно, что отличие скорости перемещения машин в «пробке» от $u /2$ («пополам», поскольку половину времени светофор закрыт) связано с тем, что машины трогаются не одновременно. Каждая машина начинает движение после того, как машина впереди уже поехала, т. е. с некоторой задержкой по времени по сравнению с предыдущей машиной. Это время задержки связано со многими причинами: реакция водителя, время включения коробки переключения передач, время разгона и т. д. Конечно, для каждого водителя и для каждой машины эта величина индивидуальная, но для расчета средней скорости перемещения машин через перекресток можно взять среднее значение этой величины и считать, что после того как включается зеленый сигнал светофора по «пробке» с определенной скоростью идет «волна трогания» машин. Пусть скорость этой волны $c$ (это значит, что машина, расположенная на расстоянии $x$ от светофора, тронется через время $x / c$ после включения зеленого сигнала), время горения зеленого сигнала светофора $\Delta t$. Тогда за это время мимо светофора успеет проехать участок «пробки» с такой длиной $\Delta l$, что «волна трогания» за время $\Delta t$ успеет дойти до его конца, а машина, находящаяся в его конце, успеет доехать до светофора
$\frac{ \Delta l}{c} + \frac{ \Delta l}{u} = \Delta t$,
где $u$ - скорость машины (согласно с условием считаем, что как только машина тронулась, она имеет скорость $u$). Отсюда находим, что средняя скорость машин в «пробке» равна
$v = \frac{ \Delta l}{2 \Delta t} = \frac{cu}{2(c + u}$. (*)
Из (*) находим
$c = \frac{2uv}{u - 2v}$. (**)
Если скорость машин увеличивается вдвое, то средняя скорость машин в «пробке» можно найти по формуле (*) с заменой $u \rightarrow 2u$
$v^{ \prime} = \frac{2cu}{2(c + 2u}$ (***)
Подставляя в формулу (***) скорость «волны трогания» (**), получим
$v^{ \prime} = \frac{uv}{u - v} = 1,2 м/с$.
Это значит, что увеличение скорости машин в 2 раза увеличивает пропускную способность перекрестка всего на 20 %.
Светофор создает автомобильную «пробку». При включении красного и зеленого сигнала на одинаковое время (время горения желтого - мало) средняя (за несколько периодов включения-выключения светофора) скорость перемещения машин в «пробке» составила $v = 1 м/с$. При этом скорость движения каждой машины (когда она ехала) составляла $u = 6 м/с$. В чем причина отличия средней скорости перемещения машин в «пробке» от половины скорости их движения? Во сколько раз вырастет средняя скорость машины в «пробке» при увеличении скорости их движения в 2 раза? Считать, что поток машин «не перемешивается», все водители дисциплинированы и трогаются, когда стоящая впереди машина уже поехала; машины либо движутся со скоростью $u$ (или $2u$ во втором случае), либо стоят.
Решение:
Математический анализ дорожного движения, и в частности, динамики автомобильных пробок позволяет организовать движение так, чтобы эти самые пробки минимизировать. Рассмотрим вопрос о влиянии светофора на пробку в связи с неодновременным троганием машин с места.
Очевидно, что отличие скорости перемещения машин в «пробке» от $u /2$ («пополам», поскольку половину времени светофор закрыт) связано с тем, что машины трогаются не одновременно. Каждая машина начинает движение после того, как машина впереди уже поехала, т. е. с некоторой задержкой по времени по сравнению с предыдущей машиной. Это время задержки связано со многими причинами: реакция водителя, время включения коробки переключения передач, время разгона и т. д. Конечно, для каждого водителя и для каждой машины эта величина индивидуальная, но для расчета средней скорости перемещения машин через перекресток можно взять среднее значение этой величины и считать, что после того как включается зеленый сигнал светофора по «пробке» с определенной скоростью идет «волна трогания» машин. Пусть скорость этой волны $c$ (это значит, что машина, расположенная на расстоянии $x$ от светофора, тронется через время $x / c$ после включения зеленого сигнала), время горения зеленого сигнала светофора $\Delta t$. Тогда за это время мимо светофора успеет проехать участок «пробки» с такой длиной $\Delta l$, что «волна трогания» за время $\Delta t$ успеет дойти до его конца, а машина, находящаяся в его конце, успеет доехать до светофора
$\frac{ \Delta l}{c} + \frac{ \Delta l}{u} = \Delta t$,
где $u$ - скорость машины (согласно с условием считаем, что как только машина тронулась, она имеет скорость $u$). Отсюда находим, что средняя скорость машин в «пробке» равна
$v = \frac{ \Delta l}{2 \Delta t} = \frac{cu}{2(c + u}$. (*)
Из (*) находим
$c = \frac{2uv}{u - 2v}$. (**)
Если скорость машин увеличивается вдвое, то средняя скорость машин в «пробке» можно найти по формуле (*) с заменой $u \rightarrow 2u$
$v^{ \prime} = \frac{2cu}{2(c + 2u}$ (***)
Подставляя в формулу (***) скорость «волны трогания» (**), получим
$v^{ \prime} = \frac{uv}{u - v} = 1,2 м/с$.
Это значит, что увеличение скорости машин в 2 раза увеличивает пропускную способность перекрестка всего на 20 %.
