Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5701
2017-12-15 
Чтобы уничтожить искусственный спутник Земли, движущийся с выключенным двигателем по круговой орбите на высоте 100 км, величину его скорости быстро уменьшают на 1 %. В пренебрежении силой сопротивления воздуха оцените, какое расстояние пролетит спутник от точки, в которой его скорость уменьшилась, до точки падения на поверхность Земли.
Решение:
Если спутник движется с выключенным двигателем по круговой орбите, то скорость спутника не меняется, поскольку единственная сила, действующая на спутник, - сила гравитации - в рассматриваемом случае перпендикулярна скорости и может только менять направление вектора скорости, но не его величину. Так как гравитационная сила в этом случае играет роль центростремительной силы, для величины силы справедливо следующее соотношение
$F = \frac{mv^{2} }{R}$, (*)
где $v$ - скорость тела; $R$ - радиус орбиты. При выполнении этого соотношения гравитационная сила так изменяет направление скорости, что обеспечивает движение тела по окружности. Если увеличить скорость тела по сравнению с (*) при сохранении радиуса орбиты, то гравитационная сила остается такой же, но тело движется быстрее, и сила не успевает повернуть нужным образом тело, сходящее с круговой орбиты на внешнюю орбиту, которая будет не круговой. При уменьшении скорости тело перейдет на внутреннюю орбиту, которая также будет не круговой. Таким образом, условие (*) или
$G \frac{mM}{R^{2} } = \frac{mv^{2} }{R} \Rightarrow v = \sqrt{ \frac{GM}{R} }$ (**)
(где $M$ - масса Земли; $m$ - масса спутника; $G$ - гравитационная постоянная) есть условие движения с постоянной скоростью по круговой орбите радиусом $R$. Скорость (**) называется первой космической скоростью.
Рассмотрим теперь случай, когда скорость спутника уменьшили на небольшую величину по сравнению с первой космической. Когда скорость спутника становится меньше первой космической, спутник начинает совершать два движения: по радиусу к центру Земли с ускорением
$a = \frac{GM}{R^{2} } - \frac{ (0,99v)^{2} }{R} \approx 2 \cdot 10^{-2} \frac{GM}{R^{2} } = 2 \cdot 10^{-2} g$,
которое практически постоянно из-за небольшого изменения радиуса орбиты, и по касательной к радиусу (орбитальное) практически с той же - первой космической - скоростью (здесь $g$ - ускорение свободного падения). Поэтому время падения спутника можно оценить как (конечно, при условии отсутствия силы сопротивления воздуха, которая очень сильно изменит движение по сравнению с рассмотренным здесь):
$t = \sqrt{ \frac{2h}{2 \cdot 10^{-2} g } } = 10^{3} с$.
Для оценки пройденного спутником расстояния нужно его орбитальную скорость (первую космическую) умножить на время падения. Получим
$S = vt = 8 км/с \cdot 10^{3} c \sim 8000 км$.
Поскольку окружность Земли составляет около 40000 км, то спутник пролетит приблизительно пятую часть окружности.
Отметим, что эта оценка справедлива только при небольших высотах спутника над поверхностью Земли (когда пройденное спутником расстояние составляет меньше полного оборота). Действительно, если радиус орбиты спутника меняется значительно, проекция его скорости на направление, перпендикулярное радиусу, будет сильно отличаться от первой космической скорости, орбита спутника будет «вытягиваться», и проведенное рассмотрение станет неверным. В нашем примере это условие выполняется, поскольку изменение радиуса орбиты - 100 км много меньше самого радиуса - 6400 км.
Чтобы уничтожить искусственный спутник Земли, движущийся с выключенным двигателем по круговой орбите на высоте 100 км, величину его скорости быстро уменьшают на 1 %. В пренебрежении силой сопротивления воздуха оцените, какое расстояние пролетит спутник от точки, в которой его скорость уменьшилась, до точки падения на поверхность Земли.
Решение:
Если спутник движется с выключенным двигателем по круговой орбите, то скорость спутника не меняется, поскольку единственная сила, действующая на спутник, - сила гравитации - в рассматриваемом случае перпендикулярна скорости и может только менять направление вектора скорости, но не его величину. Так как гравитационная сила в этом случае играет роль центростремительной силы, для величины силы справедливо следующее соотношение
$F = \frac{mv^{2} }{R}$, (*)
где $v$ - скорость тела; $R$ - радиус орбиты. При выполнении этого соотношения гравитационная сила так изменяет направление скорости, что обеспечивает движение тела по окружности. Если увеличить скорость тела по сравнению с (*) при сохранении радиуса орбиты, то гравитационная сила остается такой же, но тело движется быстрее, и сила не успевает повернуть нужным образом тело, сходящее с круговой орбиты на внешнюю орбиту, которая будет не круговой. При уменьшении скорости тело перейдет на внутреннюю орбиту, которая также будет не круговой. Таким образом, условие (*) или
$G \frac{mM}{R^{2} } = \frac{mv^{2} }{R} \Rightarrow v = \sqrt{ \frac{GM}{R} }$ (**)
(где $M$ - масса Земли; $m$ - масса спутника; $G$ - гравитационная постоянная) есть условие движения с постоянной скоростью по круговой орбите радиусом $R$. Скорость (**) называется первой космической скоростью.
Рассмотрим теперь случай, когда скорость спутника уменьшили на небольшую величину по сравнению с первой космической. Когда скорость спутника становится меньше первой космической, спутник начинает совершать два движения: по радиусу к центру Земли с ускорением
$a = \frac{GM}{R^{2} } - \frac{ (0,99v)^{2} }{R} \approx 2 \cdot 10^{-2} \frac{GM}{R^{2} } = 2 \cdot 10^{-2} g$,
которое практически постоянно из-за небольшого изменения радиуса орбиты, и по касательной к радиусу (орбитальное) практически с той же - первой космической - скоростью (здесь $g$ - ускорение свободного падения). Поэтому время падения спутника можно оценить как (конечно, при условии отсутствия силы сопротивления воздуха, которая очень сильно изменит движение по сравнению с рассмотренным здесь):
$t = \sqrt{ \frac{2h}{2 \cdot 10^{-2} g } } = 10^{3} с$.
Для оценки пройденного спутником расстояния нужно его орбитальную скорость (первую космическую) умножить на время падения. Получим
$S = vt = 8 км/с \cdot 10^{3} c \sim 8000 км$.
Поскольку окружность Земли составляет около 40000 км, то спутник пролетит приблизительно пятую часть окружности.
Отметим, что эта оценка справедлива только при небольших высотах спутника над поверхностью Земли (когда пройденное спутником расстояние составляет меньше полного оборота). Действительно, если радиус орбиты спутника меняется значительно, проекция его скорости на направление, перпендикулярное радиусу, будет сильно отличаться от первой космической скорости, орбита спутника будет «вытягиваться», и проведенное рассмотрение станет неверным. В нашем примере это условие выполняется, поскольку изменение радиуса орбиты - 100 км много меньше самого радиуса - 6400 км.
