Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5692
2017-12-15 
Для организации дорожного движения по типу «зеленый коридор» рассматривается следующая модель: вдоль бесконечно длинной дороги на одинаковом расстоянии $l$ стоят светофоры. На каждом периодически включается и через время $T$ выключается красный свет, затем на то же самое время включается зеленый, причем на каждом следующем светофоре красный свет включается в тот момент, когда на предыдущем включается зеленый. Найти все возможные периоды работы светофоров $T$, при которых возможно равномерное безостановочное движение машины со скоростью $v$ ? Машина начинает движение со светофора в момент включения на нем зеленого света.
Решение:
С задачами такого рода приходится сталкиваться, когда формируют дорожное движение по типу «зеленый коридор», т.е. когда определяют длительности работы светофоров чтобы машины проезжали улицу без остановки на светофорах. Конечно, можно написать соответствующие соотношения «расстояние-время-скорость» для движения машин, но удобнее решать задачу графически.
Для этого возьмем координатную плоскость, на которой будем строить зависимость координаты машины от времени и на которой покажем области светофоров и интервалы времени, когда светофоры «закрыты». Эта плоскость показана на рисунке. Поскольку машина едет с постоянной скоростью, то зависимость ее координаты от времени будет изображаться прямой линией с тем большим наклоном, чем больше скорость машины.
Отложим на ней координаты светофоров - С1, С2, С3 и т.д. Очевидно, что если светофор горит красным светом в течение какого-то интервала времени, то прямая, которой изображается зависимость скорости машины от времени, не может пересечь координату светофора в течение этого интервала времени. Поэтому покажем на графике жирными отрезками интервалы, в течение которых «закрыты» светофоры. Тогда зависимость скорости машины от времени должна быть такой прямой, которая нигде не пересекает эти отрезки. Посмотрим, как можно провести такие прямые. Ясно, что прямая, пересекающая область первого светофора в тот момент, когда на нем зажжется первый (после начала движения машины) зеленый после первого красного света не будет пересекать никакой жирный отрезок. Поэтому если
$T_{1} = \frac{l}{v}$,
то машина будет двигаться без остановки на всех светофорах. Ясно также, что любая другая наклонная прямая, пересекающая область первого светофора от момента времени $T$ до момента $2T$ обязательно пересечет какой-нибудь жирный отрезок.
Аналогично прямая, пересекающая область первого светофора в момент 3T также не пересечет никакой жирный отрезок. Это определяет второе значение периода работы светофоров, при котором машина может двигаться со скоростью $v$ нигде не останавливаясь
$T_{2} = \frac{l}{3v}$
и т.д. Поэтому машина будет двигаться без остановки, если
$T = \frac{l}{v}; \frac{l}{3v}; \frac{l}{5v}; \frac{l}{3v}$ - итд.
Отметим, что если бы число светофоров было конечно, то вместо каждого из приведенных чисел существовал бы некоторый интервал значений периода работы светофоров.
Предлагаем читателю рассмотреть такой случай самостоятельно, при этом, конечно, проще всего использовать изложенную выше идею графического решения задачи, которое позволяет «увидеть» все возможные решения.
Для организации дорожного движения по типу «зеленый коридор» рассматривается следующая модель: вдоль бесконечно длинной дороги на одинаковом расстоянии $l$ стоят светофоры. На каждом периодически включается и через время $T$ выключается красный свет, затем на то же самое время включается зеленый, причем на каждом следующем светофоре красный свет включается в тот момент, когда на предыдущем включается зеленый. Найти все возможные периоды работы светофоров $T$, при которых возможно равномерное безостановочное движение машины со скоростью $v$ ? Машина начинает движение со светофора в момент включения на нем зеленого света.
Решение:
С задачами такого рода приходится сталкиваться, когда формируют дорожное движение по типу «зеленый коридор», т.е. когда определяют длительности работы светофоров чтобы машины проезжали улицу без остановки на светофорах. Конечно, можно написать соответствующие соотношения «расстояние-время-скорость» для движения машин, но удобнее решать задачу графически.
Для этого возьмем координатную плоскость, на которой будем строить зависимость координаты машины от времени и на которой покажем области светофоров и интервалы времени, когда светофоры «закрыты». Эта плоскость показана на рисунке. Поскольку машина едет с постоянной скоростью, то зависимость ее координаты от времени будет изображаться прямой линией с тем большим наклоном, чем больше скорость машины.
Отложим на ней координаты светофоров - С1, С2, С3 и т.д. Очевидно, что если светофор горит красным светом в течение какого-то интервала времени, то прямая, которой изображается зависимость скорости машины от времени, не может пересечь координату светофора в течение этого интервала времени. Поэтому покажем на графике жирными отрезками интервалы, в течение которых «закрыты» светофоры. Тогда зависимость скорости машины от времени должна быть такой прямой, которая нигде не пересекает эти отрезки. Посмотрим, как можно провести такие прямые. Ясно, что прямая, пересекающая область первого светофора в тот момент, когда на нем зажжется первый (после начала движения машины) зеленый после первого красного света не будет пересекать никакой жирный отрезок. Поэтому если
$T_{1} = \frac{l}{v}$,
то машина будет двигаться без остановки на всех светофорах. Ясно также, что любая другая наклонная прямая, пересекающая область первого светофора от момента времени $T$ до момента $2T$ обязательно пересечет какой-нибудь жирный отрезок.
Аналогично прямая, пересекающая область первого светофора в момент 3T также не пересечет никакой жирный отрезок. Это определяет второе значение периода работы светофоров, при котором машина может двигаться со скоростью $v$ нигде не останавливаясь
$T_{2} = \frac{l}{3v}$
и т.д. Поэтому машина будет двигаться без остановки, если
$T = \frac{l}{v}; \frac{l}{3v}; \frac{l}{5v}; \frac{l}{3v}$ - итд.
Отметим, что если бы число светофоров было конечно, то вместо каждого из приведенных чисел существовал бы некоторый интервал значений периода работы светофоров.
Предлагаем читателю рассмотреть такой случай самостоятельно, при этом, конечно, проще всего использовать изложенную выше идею графического решения задачи, которое позволяет «увидеть» все возможные решения.
