Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5685
2017-12-15 
Во многих инженерных системах в качестве термомеханических датчиков (датчиков, испытывающих значительные деформации при изменении температуры) используются биметаллические пластины. Биметаллическая пластина состоит из двух пластинок, изготовленных из металлов с отличающимися коэффициентами линейного термического расширения и скрепленных между собой по всей поверхности контакта. Объясните, почему такая пластина будет изгибаться при нагревании или охлаждении, и оцените радиус изгиба и величину прогиба пластины при повышении ее температуры на величину $\Delta T$. Исходная длина пластины $l$, ее толщина $\Delta h$, коэффициенты линейного теплового расширения металлов, входящих в состав пластины, $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$. Считать, что толщина пластины много меньше радиуса изгиба. Оцените величину прогиба биметаллической пластины из стали ($\alpha_{1} = 1,2 \cdot 10^{-5} град^{-1}$) и латуни ($\alpha_{2} = 1,9 \cdot 10^{-5} град^{-1}$), $l = 10 см, \Delta h = 0,5 мм, \Delta T = 100^{ \circ} С$. Сравните величину прогиба и величину удлинения пластинки.
Решение:
В различных инженерных устройствах (в том числе и в бытовых) нужны термомеханические датчики, которые должны давать определенные команды при нагревании (или охлаждении). Одна из функций таких датчиков - отключение тока при коротком замыкании в бытовых электрических сетях. Дело в том, что при соединении бытовых электрических контактов без нагрузки $R$ (короткое замыкание) выделяется очень большая мощность
$P = \frac{U^{2}}{R}$,
поскольку $P \rightarrow \infty$ при $R \rightarrow 0$. Выделение большого количества теплоты может привести к пожару. Поэтому при возникновении короткого замыкания цепь нужно размыкать, причем это должен делать не человек, а сама цепь, поскольку человек может не успеть это сделать.
Идея разрыва цепи при коротком замыкании заключается в использовании термомеханических датчиков - при коротком замыкании возникает нагревание, при нагревании увеличиваются размеры тел; тела, увеличенные в размерах, могут разорвать электрическую цепь, нажав на соответствующие выключатели. Проблема только в том, что изменение размеров тел при нагревании - очень небольшое, поэтому, чтобы заметить изменение размеров, нужно сильно изменить температуру (когда все уже сгорит!). А можно ли увеличить деформацию тел при нагревании? Биметаллическая пластинка, которая рассматривается в настоящей задаче, и дает такую возможность.
Пусть есть прямая пластинка, изготовленная из двух разных металлов, спаянных по всей поверхности контакта (см. рисунок в условии). Что будет происходить при ее нагревании? Оба металла расширяются, но поскольку они разные, расширяются они по-разному. А поскольку они спаяны по всей площади контакта, пластине выгоднее согнуться, чем растягивать один и сжимать другой металл. Причем при нагревании внутри изгиба будет пластинка из того металла, который меньше расширяется. Или, другими словами, та пластинка, которая удлинятся при нагревании меньше, будет расположена вдоль дуги меньшего радиуса, в то время как более длинная пластинка расположится вдоль дуги большего радиуса (см. рисунок).
Сравним величину изгиба биметаллической пластинки с величиной ее удлинения. Радиус изгиба можно оценить из следующих соображений. Пусть биметаллическая пластина нагрелась на $\Delta T$. Тогда пластинки, из которых она состоит, удлинятся на следующие величины
$\Delta l_{1} = \alpha_{1} \Delta Tl$ и $\Delta l_{2} = \alpha_{2} \Delta Tl$,
где $l$ - первоначальная длина пластинок. Следовательно, для угла, на который опирается пластина после изгиба, можно записать (с учетом малой толщины пластины)
$ \phi = \frac{l + \Delta l_{1} }{R} = \frac{l + \Delta l_{2} }{R + \Delta h} $.
Отсюда, пренебрегая произведением двух малых величин, находим
$R = \frac{l \Delta h}{ \Delta l_{2} - \Delta l_{1} } = \frac{ \Delta h}{ ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) \Delta T }$.
Величину прогиба пластины (величина $\Delta x$ на рисунке) можно найти как
$\Delta x = R - R \cos ( \phi /2)$. (*)
Если угол $\phi$ много меньше одного радиана (для реальных пластин это условие выполнено), то
$\cos ( \phi /2 ) \approx 1 - \phi^{2}/8$
(это равенство можно получить из основного тригонометрического тождества и первого замечательного предела $\sin \phi \approx \phi$), то формулу (*) можно привести к виду
$\Delta x = \frac{l^{2} }{8R} = \frac{l^{2} ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) \Delta T }{8 \Delta h}$.
Подставляя в эту формулу данные в условии числа, найдем
$\Delta x \approx 2 мм$.
Величина удлинения пластины составит $\alpha l \Delta T \sim 2 \cdot 10^{-1} мм$, т.е. на порядок меньше. А это значит, что для конструирования термомеханических датчиков выгоднее использовать изгиб биметаллических пластин, чем простое удлинение нагретого тела.
Во многих инженерных системах в качестве термомеханических датчиков (датчиков, испытывающих значительные деформации при изменении температуры) используются биметаллические пластины. Биметаллическая пластина состоит из двух пластинок, изготовленных из металлов с отличающимися коэффициентами линейного термического расширения и скрепленных между собой по всей поверхности контакта. Объясните, почему такая пластина будет изгибаться при нагревании или охлаждении, и оцените радиус изгиба и величину прогиба пластины при повышении ее температуры на величину $\Delta T$. Исходная длина пластины $l$, ее толщина $\Delta h$, коэффициенты линейного теплового расширения металлов, входящих в состав пластины, $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$. Считать, что толщина пластины много меньше радиуса изгиба. Оцените величину прогиба биметаллической пластины из стали ($\alpha_{1} = 1,2 \cdot 10^{-5} град^{-1}$) и латуни ($\alpha_{2} = 1,9 \cdot 10^{-5} град^{-1}$), $l = 10 см, \Delta h = 0,5 мм, \Delta T = 100^{ \circ} С$. Сравните величину прогиба и величину удлинения пластинки.
Решение:
В различных инженерных устройствах (в том числе и в бытовых) нужны термомеханические датчики, которые должны давать определенные команды при нагревании (или охлаждении). Одна из функций таких датчиков - отключение тока при коротком замыкании в бытовых электрических сетях. Дело в том, что при соединении бытовых электрических контактов без нагрузки $R$ (короткое замыкание) выделяется очень большая мощность
$P = \frac{U^{2}}{R}$,
поскольку $P \rightarrow \infty$ при $R \rightarrow 0$. Выделение большого количества теплоты может привести к пожару. Поэтому при возникновении короткого замыкания цепь нужно размыкать, причем это должен делать не человек, а сама цепь, поскольку человек может не успеть это сделать.
Идея разрыва цепи при коротком замыкании заключается в использовании термомеханических датчиков - при коротком замыкании возникает нагревание, при нагревании увеличиваются размеры тел; тела, увеличенные в размерах, могут разорвать электрическую цепь, нажав на соответствующие выключатели. Проблема только в том, что изменение размеров тел при нагревании - очень небольшое, поэтому, чтобы заметить изменение размеров, нужно сильно изменить температуру (когда все уже сгорит!). А можно ли увеличить деформацию тел при нагревании? Биметаллическая пластинка, которая рассматривается в настоящей задаче, и дает такую возможность.
Пусть есть прямая пластинка, изготовленная из двух разных металлов, спаянных по всей поверхности контакта (см. рисунок в условии). Что будет происходить при ее нагревании? Оба металла расширяются, но поскольку они разные, расширяются они по-разному. А поскольку они спаяны по всей площади контакта, пластине выгоднее согнуться, чем растягивать один и сжимать другой металл. Причем при нагревании внутри изгиба будет пластинка из того металла, который меньше расширяется. Или, другими словами, та пластинка, которая удлинятся при нагревании меньше, будет расположена вдоль дуги меньшего радиуса, в то время как более длинная пластинка расположится вдоль дуги большего радиуса (см. рисунок).
Сравним величину изгиба биметаллической пластинки с величиной ее удлинения. Радиус изгиба можно оценить из следующих соображений. Пусть биметаллическая пластина нагрелась на $\Delta T$. Тогда пластинки, из которых она состоит, удлинятся на следующие величины
$\Delta l_{1} = \alpha_{1} \Delta Tl$ и $\Delta l_{2} = \alpha_{2} \Delta Tl$,
где $l$ - первоначальная длина пластинок. Следовательно, для угла, на который опирается пластина после изгиба, можно записать (с учетом малой толщины пластины)
$ \phi = \frac{l + \Delta l_{1} }{R} = \frac{l + \Delta l_{2} }{R + \Delta h} $.
Отсюда, пренебрегая произведением двух малых величин, находим
$R = \frac{l \Delta h}{ \Delta l_{2} - \Delta l_{1} } = \frac{ \Delta h}{ ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) \Delta T }$.
Величину прогиба пластины (величина $\Delta x$ на рисунке) можно найти как
$\Delta x = R - R \cos ( \phi /2)$. (*)
Если угол $\phi$ много меньше одного радиана (для реальных пластин это условие выполнено), то
$\cos ( \phi /2 ) \approx 1 - \phi^{2}/8$
(это равенство можно получить из основного тригонометрического тождества и первого замечательного предела $\sin \phi \approx \phi$), то формулу (*) можно привести к виду
$\Delta x = \frac{l^{2} }{8R} = \frac{l^{2} ( \alpha_{2} - \alpha_{1} ) \Delta T }{8 \Delta h}$.
Подставляя в эту формулу данные в условии числа, найдем
$\Delta x \approx 2 мм$.
Величина удлинения пластины составит $\alpha l \Delta T \sim 2 \cdot 10^{-1} мм$, т.е. на порядок меньше. А это значит, что для конструирования термомеханических датчиков выгоднее использовать изгиб биметаллических пластин, чем простое удлинение нагретого тела.
