Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5684
2017-12-15 
На рисунке приведен график зависимости мощности автомобиля (ось ординат, кВт) от максимальной скорости, которую он способен развивать (ось абсцисс, км/ч). Этот график построен по данным автопроизводителей относительно машин одного класса, имеющих близкие размеры: каждая точка соответствует какому-либо автомобилю - заявленная производителем мощность мотора откладывалась по оси ординат, максимальная скорость, развиваемая этим автомобилем, откладывалась по оси абсцисс. Наилучшим образом набор точек описывается кубической зависимостью ($P \sim v^{3}$). Объясните эту связь мощности двигателя автомобиля и его максимальной скорости.
Решение:
Одна из характеристик автомобиля, которую приводят производители в аннотации - его максимальная скорость. А от чего она зависит? И с чем вообще связан предел для скорости автомобиля: ведь если двигатель работает, то он должен продолжать и продолжать разгонять автомобиль.
Очевидно, что ограничение для скорости должен дать какой-то механизм, связанный с потерей механической энергии. Двигатель работает, совершает механическую работу, и где-то она должна теряться, поскольку при движении машины с максимальной скоростью ее кинетическая энергия не возрастает. Потеря механической энергии может происходить только благодаря трению или сопротивлению воздуха. Чтобы трение обеспечило значительные потери энергии, колеса должны скользить по дороге, а в обычных условиях они не скользят, а катятся. Поэтому именно сопротивление воздуха обеспечивает ограничение скорости автомобиля. Давайте исследуем потери энергии, связанные с сопротивлением воздуха, в зависимости от скорости автомобиля.
При движении тела в среде возникает сила сопротивления среды, которая должна зависеть от скорости - ведь при нулевой скорости сила сопротивления должна равняться нулю). Механизм сопротивления заключается в том, что движущемуся телу приходится толкать перед собой воздух, совершая над ним работу. Для оценки будем считать, что весь воздух перед собой машина разгоняет до своей скорости. Найдем из этого условия силу сопротивления воздуха.
Пусть скорость машины $v$, а площадь поперечного сечения $S$. Тогда за время $\Delta t$ машина должна «толкнуть» вперед весь воздух, находящийся перед ней на том расстоянии, которое она пройдет за это время, т. е. на расстоянии $v \Delta t$ от нее. Другими словами, машина всему воздуху, находящемуся в объеме
$\Delta V = Sv \Delta t$,
должна сообщить скорость $v$. Поскольку масса этого воздуха есть
$\Delta m = \rho \Delta V = \rho Sv^{2} \Delta t$,
а разгоняется он до скорости $v$, изменение импульса этого воздуха равно
$\Delta p = \Delta mv = \rho Sv^{2} \Delta t$.
Отсюда по второму закону Ньютона в импульсной форме
$\vec{F} \Delta t = \Delta \vec{p}$
находим силу, которая действует со стороны машины на воздух
$F = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \rho S v^{2}$.
По третьему закону Ньютона такая же сила действует со стороны воздуха на машину и, следовательно, является силой сопротивления воздуха.
Если машина движется с постоянной скоростью, то работы силы сопротивления воздуха и двигателя должны быть одинаковыми по величине. Поэтому
$P = Fv = \rho Sv^{3}$,
где $P$ - мощность двигателя; $Fv$ - мощность силы сопротивления воздуха. Из этой формулы следует, что максимальная скорость машины определяется корнем кубическим из максимальной мощности, которую может развивать двигатель, и, следовательно, если взять ряд моделей машин, для каждой модели взять заявленные производителем максимальную мощность ее двигателя и максимальную скорость, нанести точку с координатами $P$ и $v$ на координатную плоскость $P - v$, то точки, отвечающие разным машинам, должны ложиться на кубическую параболу, как это и видно из приведенного в условии графика.
На рисунке приведен график зависимости мощности автомобиля (ось ординат, кВт) от максимальной скорости, которую он способен развивать (ось абсцисс, км/ч). Этот график построен по данным автопроизводителей относительно машин одного класса, имеющих близкие размеры: каждая точка соответствует какому-либо автомобилю - заявленная производителем мощность мотора откладывалась по оси ординат, максимальная скорость, развиваемая этим автомобилем, откладывалась по оси абсцисс. Наилучшим образом набор точек описывается кубической зависимостью ($P \sim v^{3}$). Объясните эту связь мощности двигателя автомобиля и его максимальной скорости.
Решение:
Одна из характеристик автомобиля, которую приводят производители в аннотации - его максимальная скорость. А от чего она зависит? И с чем вообще связан предел для скорости автомобиля: ведь если двигатель работает, то он должен продолжать и продолжать разгонять автомобиль.
Очевидно, что ограничение для скорости должен дать какой-то механизм, связанный с потерей механической энергии. Двигатель работает, совершает механическую работу, и где-то она должна теряться, поскольку при движении машины с максимальной скоростью ее кинетическая энергия не возрастает. Потеря механической энергии может происходить только благодаря трению или сопротивлению воздуха. Чтобы трение обеспечило значительные потери энергии, колеса должны скользить по дороге, а в обычных условиях они не скользят, а катятся. Поэтому именно сопротивление воздуха обеспечивает ограничение скорости автомобиля. Давайте исследуем потери энергии, связанные с сопротивлением воздуха, в зависимости от скорости автомобиля.
При движении тела в среде возникает сила сопротивления среды, которая должна зависеть от скорости - ведь при нулевой скорости сила сопротивления должна равняться нулю). Механизм сопротивления заключается в том, что движущемуся телу приходится толкать перед собой воздух, совершая над ним работу. Для оценки будем считать, что весь воздух перед собой машина разгоняет до своей скорости. Найдем из этого условия силу сопротивления воздуха.
Пусть скорость машины $v$, а площадь поперечного сечения $S$. Тогда за время $\Delta t$ машина должна «толкнуть» вперед весь воздух, находящийся перед ней на том расстоянии, которое она пройдет за это время, т. е. на расстоянии $v \Delta t$ от нее. Другими словами, машина всему воздуху, находящемуся в объеме
$\Delta V = Sv \Delta t$,
должна сообщить скорость $v$. Поскольку масса этого воздуха есть
$\Delta m = \rho \Delta V = \rho Sv^{2} \Delta t$,
а разгоняется он до скорости $v$, изменение импульса этого воздуха равно
$\Delta p = \Delta mv = \rho Sv^{2} \Delta t$.
Отсюда по второму закону Ньютона в импульсной форме
$\vec{F} \Delta t = \Delta \vec{p}$
находим силу, которая действует со стороны машины на воздух
$F = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \rho S v^{2}$.
По третьему закону Ньютона такая же сила действует со стороны воздуха на машину и, следовательно, является силой сопротивления воздуха.
Если машина движется с постоянной скоростью, то работы силы сопротивления воздуха и двигателя должны быть одинаковыми по величине. Поэтому
$P = Fv = \rho Sv^{3}$,
где $P$ - мощность двигателя; $Fv$ - мощность силы сопротивления воздуха. Из этой формулы следует, что максимальная скорость машины определяется корнем кубическим из максимальной мощности, которую может развивать двигатель, и, следовательно, если взять ряд моделей машин, для каждой модели взять заявленные производителем максимальную мощность ее двигателя и максимальную скорость, нанести точку с координатами $P$ и $v$ на координатную плоскость $P - v$, то точки, отвечающие разным машинам, должны ложиться на кубическую параболу, как это и видно из приведенного в условии графика.
