2014-06-01
Лента транспортера длиной $l$, на которой лежит брусок массой $m$, движется со скоростью $v$ (рис.).
Определите скорость $v_{0}$, с которой нужно толкнуть брусок против движения транспортера, чтобы количество теплоты, выделившееся при торможении бруска лентой транспортера, было максимальным. Чему равно это максимальное количество теплоты $Q$, если коэффициент трения равен $\mu$ и выполняется условие $v < \sqrt{2 \mu lg}$?
Решение:
Количество выделившейся теплоты будет максимальным при условии, что брусок пройдет максимальное расстояние относительно транспортера. Для этого необходимо, чтобы около ролика А скорость бруска относительно земли стала равной нулю (см.рис.). Начальная скорость относительно земли, которую при этом должен иметь брусок, определяется условиями
$- v_{0} + at = 0, l = v_{0}t – at^{2}/2$,
где $a = \mu g$ - ускорение, сообщаемое бруску силой трения. Отсюда
$v_{0}=\sqrt{2 \mu gl}$.
Время движения бруска по ленте транспортера до ролика А равно
$t = \sqrt{2l/(\mu g)}$.
До остановки брусок пройдет по ленте путь, равный
$s_{1} = l + vt = l + v \sqrt{2l/(\mu g)}$.
Далее брусок начнет двигаться равноускоренно вправо. Интервал времени, спустя который прекратится проскальзывание, равен $\tau = v/a = v/ \mu g$. За это время относительно земли брусок переместится на расстояние
$s = a \tau^{2}/2 = v^{2} / (2 \mu g)$.
Так как по условию задачи $v < \sqrt{2 \mu gl}$, то за время $\tau$ брусок не соскользнет с транспортера, т. е. $s < l$.
Путь, который за это время брусок пройдет относительно ленты транспортера, равен
$s_{2}= |v^{2} / 2a – v \tau| = v^{2} / (2 \mu g)$.
Полный путь бруска относительно ленты равен
$s = s_{1} + s_{2} = l + v \sqrt{2l / \mu g} + v^{2}/(2 \mu g) = (v + \sqrt{2 \mu gl})^{2} / (2 \mu g))$.
Количество теплоты, выделившееся за счет работы силы трения, равно
$Q = \mu mg s = m (v + \sqrt{2 \nu gl})^{2} /2$.