Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 566
2014-06-01 
Вокруг вертикальной оси вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ невесомый горизонтальный жесткий стержень, по которому без трения могут двигаться два шарика одной и той же массы $m$. Шарики соединены между собой невесомой пружиной жесткости $k$, длина которой в ненапряженном состоянии равна $l_{0}$. Ближайший к вертикальной оси шарик соединен с ней такой же пружиной.
Найдите длину каждой из пружин. При каких условиях шарики будут двигаться по окружностям?
Решение:
Обозначим через $l_{1}$ и $l_{2}$ длины пружин, соединяющих ось вращения с первым шариком и шарики между собой. Так как шарики движутся по окружности, то уравнения их движения примут вид
$m \omega^{2} l_{1} = k (l_{1}-l_{0}) – k(l_{2}-l_{0})$,
$m \omega^{2}(l_{1}+l_{2}) = k (l_{2} – l_{0}$;
отсюда
$l_{1} = \frac{l_{0}}{1 – 3 m \omega^{2}/ k + (m omega^{2}/k)^{2}}$,
$l_{2} = \frac{(1-m \omega^{2}/k)l_{0}}{1 – 3 m \omega^{2}/k +(m \omega^{2}/k)^{2}}$.
Решение имеет физический смысл, если выполняются неравенства
$1 – 3 m \omega^{2}/k + (m \omega^{2}/k) > 0, 1 – m \omega^{2}/k \geq 0$.
Пусть $m \omega^{2} / k = x$. Так как $m \omega^{2} / k > 0$, из второго условия следует $0 < x < 1$. Первое условие дает
$x^{2} – 3 x + 1 > 0$
откуда либо $x > (3+\sqrt{5})/2 \approx 2,6$, либо $x < (3 - \sqrt{5})/2 \approx 0,4$. Следовательно, область допустимых значений $x$ есть $0 < x < (3 - \sqrt{5})/2$, откуда
$\omega < \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \frac{k}{m}}$
Вокруг вертикальной оси вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ невесомый горизонтальный жесткий стержень, по которому без трения могут двигаться два шарика одной и той же массы $m$. Шарики соединены между собой невесомой пружиной жесткости $k$, длина которой в ненапряженном состоянии равна $l_{0}$. Ближайший к вертикальной оси шарик соединен с ней такой же пружиной.
Найдите длину каждой из пружин. При каких условиях шарики будут двигаться по окружностям?
Решение:
Обозначим через $l_{1}$ и $l_{2}$ длины пружин, соединяющих ось вращения с первым шариком и шарики между собой. Так как шарики движутся по окружности, то уравнения их движения примут вид
$m \omega^{2} l_{1} = k (l_{1}-l_{0}) – k(l_{2}-l_{0})$,
$m \omega^{2}(l_{1}+l_{2}) = k (l_{2} – l_{0}$;
отсюда
$l_{1} = \frac{l_{0}}{1 – 3 m \omega^{2}/ k + (m omega^{2}/k)^{2}}$,
$l_{2} = \frac{(1-m \omega^{2}/k)l_{0}}{1 – 3 m \omega^{2}/k +(m \omega^{2}/k)^{2}}$.
Решение имеет физический смысл, если выполняются неравенства
$1 – 3 m \omega^{2}/k + (m \omega^{2}/k) > 0, 1 – m \omega^{2}/k \geq 0$.
Пусть $m \omega^{2} / k = x$. Так как $m \omega^{2} / k > 0$, из второго условия следует $0 < x < 1$. Первое условие дает
$x^{2} – 3 x + 1 > 0$
откуда либо $x > (3+\sqrt{5})/2 \approx 2,6$, либо $x < (3 - \sqrt{5})/2 \approx 0,4$. Следовательно, область допустимых значений $x$ есть $0 < x < (3 - \sqrt{5})/2$, откуда
$\omega < \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \frac{k}{m}}$
