Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5641
2017-12-09 
«Черный ящик» имеет три клеммы: А, В и С (рис.). Известно, что он содержит только резисторы. Сопротивления «черного ящика» при подключении к различным парам клемм: $R_{AB} = 5 Ом, R_{BC} = 8 Ом, R_{AC} = 9 Ом$. Предложите схему «черного ящика», содержащую минимально возможное число резисторов.
Решение:
Возможных схем с двумя резисторами не так уж много, и простым перебором можно проверить, что ни одна из них не удовлетворяет условию. Схем с тремя резисторами тоже немного; условию задачи могут удовлетворять только две схемы, показанные на рисунках а и b. Покажем, что эти схемы действительно удовлетворяют условию и найдем соответствующие сопротивления резисторов.
Схема на рис. а при подключении к любой паре клемм представляет собой последовательное соединение двух резисторов. Поэтому $R_{AB} = r_{1} + r_{2} , R_{BC} = r_{2} + r_{3}, R_{AC} = r_{1} + r_{3}$. Отсюда
$r_{1} = \frac{R_{AB} + R_{AC} - R_{BC}}{2}; r_{1} = 3 Ом$;
$r_{2} = \frac{R_{AB} - R_{AC} + R_{BC}}{2}; r_{2} = 2 Ом$;
$r_{3} = \frac{-R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}}{2}; r_{3} = 6 Ом$;
Схема на рис. b при подключении к любой паре клемм представляет собой параллельное соединение одного из резисторов с двумя другими, соединенными между собой последовательно. Поэтому:
$R_{AB} = \frac{R_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}; R_{BC} = \frac{R_{2}(R_{1} + R_{3})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}; R_{AC} = \frac{R_{3}(R_{1} + R_{2})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}$
Умножая каждое из этих уравнений на $R_{1} + R_{2} + R_{3}$ и, складывая все три уравнения, получаем
$R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3} + R_{2}R_{3} = \frac{R_{AB} + R_{BC} + R_{AC}}{2} ( R_{1} +R_{2} + R_{3} )$.
Тогда
$R_{1} R_{2} = \frac{R_{AB} + R_{BC} - R_{AC}}{2} ( R_{1} + R_{2} + R_{3} )$.
$R_{2} R_{3} = \frac{R_{BC} + R_{AC} - R_{AB}}{2} ( R_{1} + R_{2} + R_{3} )$.
$R_{1} R_{3} = \frac{R_{AB} - R_{BC} + R_{AC}}{2} ( R_{1} + R_{2} + R_{3} )$.
Разделив почленно эти уравнения друг на друга, найдем отношения неизвестных сопротивлений:
$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{R_{BC} + R_{AC} - R_{AB}}{R_{AB} + R_{AC} - R_{BC}}; \frac{R_{2}}{R_{1}} = 2$;
$\frac{R_{3}}{R_{1}} = \frac{R_{BC} + R_{AC} - R_{AB}}{R_{AB} + R_{BC} - R_{AC}}; \frac{R_{3}}{R_{1}} = 3$;
Подставляя $R_{2} = 2R_{1}, R_{3} = 3R_{1}$ в любое из уравнений системы, находим: $R_{1} = 6 Ом; R_{2} =12 Ом; R_{3} = 18 Ом$.
«Черный ящик» имеет три клеммы: А, В и С (рис.). Известно, что он содержит только резисторы. Сопротивления «черного ящика» при подключении к различным парам клемм: $R_{AB} = 5 Ом, R_{BC} = 8 Ом, R_{AC} = 9 Ом$. Предложите схему «черного ящика», содержащую минимально возможное число резисторов.
Решение:
Возможных схем с двумя резисторами не так уж много, и простым перебором можно проверить, что ни одна из них не удовлетворяет условию. Схем с тремя резисторами тоже немного; условию задачи могут удовлетворять только две схемы, показанные на рисунках а и b. Покажем, что эти схемы действительно удовлетворяют условию и найдем соответствующие сопротивления резисторов.
Схема на рис. а при подключении к любой паре клемм представляет собой последовательное соединение двух резисторов. Поэтому $R_{AB} = r_{1} + r_{2} , R_{BC} = r_{2} + r_{3}, R_{AC} = r_{1} + r_{3}$. Отсюда
$r_{1} = \frac{R_{AB} + R_{AC} - R_{BC}}{2}; r_{1} = 3 Ом$;
$r_{2} = \frac{R_{AB} - R_{AC} + R_{BC}}{2}; r_{2} = 2 Ом$;
$r_{3} = \frac{-R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}}{2}; r_{3} = 6 Ом$;
Схема на рис. b при подключении к любой паре клемм представляет собой параллельное соединение одного из резисторов с двумя другими, соединенными между собой последовательно. Поэтому:
$R_{AB} = \frac{R_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}; R_{BC} = \frac{R_{2}(R_{1} + R_{3})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}; R_{AC} = \frac{R_{3}(R_{1} + R_{2})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}$
Умножая каждое из этих уравнений на $R_{1} + R_{2} + R_{3}$ и, складывая все три уравнения, получаем
$R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3} + R_{2}R_{3} = \frac{R_{AB} + R_{BC} + R_{AC}}{2} ( R_{1} +R_{2} + R_{3} )$.
Тогда
$R_{1} R_{2} = \frac{R_{AB} + R_{BC} - R_{AC}}{2} ( R_{1} + R_{2} + R_{3} )$.
$R_{2} R_{3} = \frac{R_{BC} + R_{AC} - R_{AB}}{2} ( R_{1} + R_{2} + R_{3} )$.
$R_{1} R_{3} = \frac{R_{AB} - R_{BC} + R_{AC}}{2} ( R_{1} + R_{2} + R_{3} )$.
Разделив почленно эти уравнения друг на друга, найдем отношения неизвестных сопротивлений:
$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{R_{BC} + R_{AC} - R_{AB}}{R_{AB} + R_{AC} - R_{BC}}; \frac{R_{2}}{R_{1}} = 2$;
$\frac{R_{3}}{R_{1}} = \frac{R_{BC} + R_{AC} - R_{AB}}{R_{AB} + R_{BC} - R_{AC}}; \frac{R_{3}}{R_{1}} = 3$;
Подставляя $R_{2} = 2R_{1}, R_{3} = 3R_{1}$ в любое из уравнений системы, находим: $R_{1} = 6 Ом; R_{2} =12 Ом; R_{3} = 18 Ом$.
