Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5631
2017-12-09 
Пять кирпичей длиной $L$ кладут без раствора один на другой так, что каждый кирпич выступает над нижележащим. На какое наибольшее расстояние правый край самого верхнего кирпича может выступать над правым краем самого нижнего (рис.)?
Можно ли, имея достаточный запас кирпичей, уложить их друг на друга так, чтобы край самого верхнего кирпича выступал над краем самого нижнего кирпича метров на сто?
Решение:
Условимся считать кирпичи сверху вниз (т.е. верхний - первый). Центр тяжести каждого кирпича отстоит от его края на $l/2$. Тогда общий центр тяжести $C_{2}$. Двух верхних кирпичей расположен (см. рисунок) на расстоянии $l/4$ по горизонтали от края второго кирпича. Именно на это расстояние и может выступать второй кирпич над третьим. Центр тяжести трех верхних кирпичей $C_{3}$ определяется из условия:
$mg \left ( \frac{l}{2} - x \right ) = 2mgx$,
откуда $x = \frac{l}{6}$, т.е. третий кирпич может выступать над четвертым на 1/6 своей длины. Аналогично доказывается, что четвертый кирпич может выступать над пятым на 1/8 своей длины. Полное смещение верхнего кирпича относительно нижнего составит
$\frac{l}{2} + \frac{l}{4} + \frac{l}{6} + \frac{l}{8} = \frac{25l}{24}$.
Верхний кирпич, оказывается, может целиком выйти за пределы площади опоры. Разрешим теперь второй вопрос. Обозначим через $x_{n}$ величину максимального смещения $n$-того сверху кирпича над нижележащим. Согласно полученному ранее результату: $x_{1} = l/2, x_{2} = l/4, x_{3} = l/6, x_{4} = l/8$.
Можно предположить, что общая формула имеет вид $x_{n} = l/2n$. Доказать это предположение можно методом математической индукции. Пусть оно справедливо для $n = k$, причем $k$-й кирпич выдвинут относительно нижележащего на максимально возможную величину $x$. Найдем расстояние по горизонтали от центра тяжести С системы из $(k+1)$ кирпича до правого края нижнего кирпича. На рис. заштриховано условное изображение системы из $k$ верхних кирпичей. Искомое расстояние, представляющее собой как раз $x_{k+1}$, легко определить из правила моментов:
$mg \left ( \frac{l}{2} - x_{k+1} \right ) = kmg x_{k+1}$, т.е. $x_{k+1} = \frac{l}{2(k+1)}$.
Таким образом, если формула $x_{n} = l/2n$ справедлива для $n=k$, то она справедлива и для $n=k+1$. Тем самым формулу для $x_{n}$ можно считать доказанной. Максимальное смещение верхнего кирпича относительно нижнего:
$\frac{l}{2} + \frac{l}{4} + \frac{l}{6} + \frac{l}{8} + \cdots = \frac{l}{2} \left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \right )$
При неограниченном увеличении числа кирпичей эта сумма стремится к бесконечности.
Со стороны такая стопка выглядит как плавно изогнутая колонна. Конечно, если не считать того, что, во-первых, равновесие неустойчиво (центр тяжести всей стопки расположен в точности над краем самого нижнего кирпича), а во-вторых, для того, чтобы край верхнего кирпича выступал над краем самого нижнего кирпича на большое расстояние, то придется выстроить настолько высокую «гнутую башню», что надо будет учесть неоднородность поля тяготения Земли.
Пять кирпичей длиной $L$ кладут без раствора один на другой так, что каждый кирпич выступает над нижележащим. На какое наибольшее расстояние правый край самого верхнего кирпича может выступать над правым краем самого нижнего (рис.)?
Можно ли, имея достаточный запас кирпичей, уложить их друг на друга так, чтобы край самого верхнего кирпича выступал над краем самого нижнего кирпича метров на сто?
Решение:
Условимся считать кирпичи сверху вниз (т.е. верхний - первый). Центр тяжести каждого кирпича отстоит от его края на $l/2$. Тогда общий центр тяжести $C_{2}$. Двух верхних кирпичей расположен (см. рисунок) на расстоянии $l/4$ по горизонтали от края второго кирпича. Именно на это расстояние и может выступать второй кирпич над третьим. Центр тяжести трех верхних кирпичей $C_{3}$ определяется из условия:
$mg \left ( \frac{l}{2} - x \right ) = 2mgx$,
откуда $x = \frac{l}{6}$, т.е. третий кирпич может выступать над четвертым на 1/6 своей длины. Аналогично доказывается, что четвертый кирпич может выступать над пятым на 1/8 своей длины. Полное смещение верхнего кирпича относительно нижнего составит
$\frac{l}{2} + \frac{l}{4} + \frac{l}{6} + \frac{l}{8} = \frac{25l}{24}$.
Верхний кирпич, оказывается, может целиком выйти за пределы площади опоры. Разрешим теперь второй вопрос. Обозначим через $x_{n}$ величину максимального смещения $n$-того сверху кирпича над нижележащим. Согласно полученному ранее результату: $x_{1} = l/2, x_{2} = l/4, x_{3} = l/6, x_{4} = l/8$.
Можно предположить, что общая формула имеет вид $x_{n} = l/2n$. Доказать это предположение можно методом математической индукции. Пусть оно справедливо для $n = k$, причем $k$-й кирпич выдвинут относительно нижележащего на максимально возможную величину $x$. Найдем расстояние по горизонтали от центра тяжести С системы из $(k+1)$ кирпича до правого края нижнего кирпича. На рис. заштриховано условное изображение системы из $k$ верхних кирпичей. Искомое расстояние, представляющее собой как раз $x_{k+1}$, легко определить из правила моментов:
$mg \left ( \frac{l}{2} - x_{k+1} \right ) = kmg x_{k+1}$, т.е. $x_{k+1} = \frac{l}{2(k+1)}$.
Таким образом, если формула $x_{n} = l/2n$ справедлива для $n=k$, то она справедлива и для $n=k+1$. Тем самым формулу для $x_{n}$ можно считать доказанной. Максимальное смещение верхнего кирпича относительно нижнего:
$\frac{l}{2} + \frac{l}{4} + \frac{l}{6} + \frac{l}{8} + \cdots = \frac{l}{2} \left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \right )$
При неограниченном увеличении числа кирпичей эта сумма стремится к бесконечности.
Со стороны такая стопка выглядит как плавно изогнутая колонна. Конечно, если не считать того, что, во-первых, равновесие неустойчиво (центр тяжести всей стопки расположен в точности над краем самого нижнего кирпича), а во-вторых, для того, чтобы край верхнего кирпича выступал над краем самого нижнего кирпича на большое расстояние, то придется выстроить настолько высокую «гнутую башню», что надо будет учесть неоднородность поля тяготения Земли.
