Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5621
2017-12-09 
На тележке стоит сосуд с высокими стенками и квадратным дном, имеющим сторону $l$. Нижнее ребро сосуда шарнирно закреплено. В сосуд налита жидкость до уровня $h > l/2$. Тележку тянут с ускорением $a$, придерживая сосуд. Когда поверхность жидкости успокоится, сосуд отпускают. При какой минимальной высоте уровня жидкости сосуд опрокинется? Массой сосуда пренебречь.
Решение:
Пусть С - центр масс ускоренной воды. Поверхность воды уже не горизонтальна, перпендикуляр к этой поверхности направлен вдоль вектора - $\vec{a} + \vec{g}$, направление которого совпадает с направлением результирующей силы, приложенной к центру масс. Если линия действия этой силы пройдет мимо площади опоры, то система перевернется. Критическим условием является прохождение линии действия результирующей силы через шарнир, т.е. через точку О (см. рисунок). Обозначив через $X_{C}$ горизонтальную координату центра масс, через $Y_{C}$ - вертикальную, получаем условие $ag = X_{C}/Y_{C}$. Центр масс трапеции можно найти, например, через центр масс треугольника и прямоугольника:
$X_{C} = \left [ \frac{l}{3} \frac{l}{2} \frac{a}{g} l + \frac{l}{2} \left ( h - l \frac{a}{2g} \right ) l \right ] \frac{1}{hl} = \frac{l}{2} - \frac{l^{2}}{12h} \frac{a}{g}$,
$Y_{C} = \left [ \frac{l}{3} \frac{a}{g} \frac{l}{2} \frac{a}{g} l + \frac{l}{2} \left ( h - \frac{la}{2g} \right ) \left ( h - \frac{la}{2g} \right ) l \right ] \frac{1}{hl} = \frac{h}{2} - \frac{l}{2} \frac{a}{g} + \frac{7l^{2}}{24h} \frac{a^{2}}{g^{2}}$.
Подставляя в вышеприведенное условие найденные значения $X_{C}$, и $Y_{C}$, имеем:
$h^{2} - l \left ( \frac{a}{g} + \frac{g}{a} \right ) h + \frac{l^{2}}{6} \left ( 1 + \frac{7}{2} \frac{a^{2}}{g^{2}} \right ) = 0$;
отсюда с учетом условий $a < g$ и $h > l/2$ однозначно получаем:
$h = \frac{l}{2} \left ( \frac{a}{g} + \frac{g}{a} \sqrt{ \frac{g^{2}}{a^{2}} + \frac{4}{6} \left ( 1 - \frac{a^{2}}{g^{2}} \right ) } \right ) \approx l \frac{g}{a}$ при $a \ll g$.
На тележке стоит сосуд с высокими стенками и квадратным дном, имеющим сторону $l$. Нижнее ребро сосуда шарнирно закреплено. В сосуд налита жидкость до уровня $h > l/2$. Тележку тянут с ускорением $a$, придерживая сосуд. Когда поверхность жидкости успокоится, сосуд отпускают. При какой минимальной высоте уровня жидкости сосуд опрокинется? Массой сосуда пренебречь.
Решение:
Пусть С - центр масс ускоренной воды. Поверхность воды уже не горизонтальна, перпендикуляр к этой поверхности направлен вдоль вектора - $\vec{a} + \vec{g}$, направление которого совпадает с направлением результирующей силы, приложенной к центру масс. Если линия действия этой силы пройдет мимо площади опоры, то система перевернется. Критическим условием является прохождение линии действия результирующей силы через шарнир, т.е. через точку О (см. рисунок). Обозначив через $X_{C}$ горизонтальную координату центра масс, через $Y_{C}$ - вертикальную, получаем условие $ag = X_{C}/Y_{C}$. Центр масс трапеции можно найти, например, через центр масс треугольника и прямоугольника:
$X_{C} = \left [ \frac{l}{3} \frac{l}{2} \frac{a}{g} l + \frac{l}{2} \left ( h - l \frac{a}{2g} \right ) l \right ] \frac{1}{hl} = \frac{l}{2} - \frac{l^{2}}{12h} \frac{a}{g}$,
$Y_{C} = \left [ \frac{l}{3} \frac{a}{g} \frac{l}{2} \frac{a}{g} l + \frac{l}{2} \left ( h - \frac{la}{2g} \right ) \left ( h - \frac{la}{2g} \right ) l \right ] \frac{1}{hl} = \frac{h}{2} - \frac{l}{2} \frac{a}{g} + \frac{7l^{2}}{24h} \frac{a^{2}}{g^{2}}$.
Подставляя в вышеприведенное условие найденные значения $X_{C}$, и $Y_{C}$, имеем:
$h^{2} - l \left ( \frac{a}{g} + \frac{g}{a} \right ) h + \frac{l^{2}}{6} \left ( 1 + \frac{7}{2} \frac{a^{2}}{g^{2}} \right ) = 0$;
отсюда с учетом условий $a < g$ и $h > l/2$ однозначно получаем:
$h = \frac{l}{2} \left ( \frac{a}{g} + \frac{g}{a} \sqrt{ \frac{g^{2}}{a^{2}} + \frac{4}{6} \left ( 1 - \frac{a^{2}}{g^{2}} \right ) } \right ) \approx l \frac{g}{a}$ при $a \ll g$.
