Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5620
2017-12-09 
Маленький шарик подвешен в точке А на нити, длина которой $l$. В точке О на расстоянии $l/2$ ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают (рис.). В какой точке траектории исчезнет натяжение нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик? В какой точке шарик пересечет вертикаль, проходящую через точку подвеса.
Решение:
Шарик сначала описывает четверть окружности радиуса, равного длине нити $l$. Затем нить задевает гвоздь О, вбитый в стенку, и шарик описывает дугу окружности вдвое меньшего радиуса. Наконец, когда вес шарика будет сообщать ему центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности, натяжение нити обратится в нуль. Пусть это произойдет в точке М (см. рисунок). Ее положение определим следующим образом. Составляющая веса по направлению радиуса равна $P \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол, образованный нитью в этот момент. Далее, $v^{2}$ в точке $M$ равно $2gH$, где
$H = AB = AO - BO = \frac{l}{2} - \frac{l \cos \alpha}{2}$.
Поэтому центростремительная сила в точке М равна:
$\frac{mv^{2}}{R} = \frac{2m \left ( \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \alpha \right ) g}{l/2} = 2P (1 - \cos \alpha)$.
Итак, в точке М имеем равенство
$P \cos \alpha = 2P(1 - \cos \alpha)$, откуда $\cos \alpha = 2/3$.
Далее шарик летит как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v = \sqrt{ \frac{gl}{3}}$.
В этом случае верхняя точка параболы находится выше уровня точки взлета на:
$\frac{(v \sin \alpha)^{2}}{2g} = \frac{5l}{54}$.
Вертикаль, проходящая через точку подвеса, находится от точки M на расстоянии
$MB = \frac{l \sin \alpha}{2} = \frac{ \sqrt{5}}{6} l$.
Чтобы пройти по горизонтали такой путь, шарику потребуется время:
$t = \frac{MB}{ v \cos \alpha} = \frac{ \sqrt{15}}{4} \sqrt{ \frac{l}{g}}$.
За это время шарик по высоте пройдет путь:
$v \sin \alpha t - \frac{gt^{2}}{2} = - \frac{5l}{96}$,
т.е. пересечет вертикаль АО в точке, лежащей на $\frac{5l}{96}$ ниже точки B
Маленький шарик подвешен в точке А на нити, длина которой $l$. В точке О на расстоянии $l/2$ ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают (рис.). В какой точке траектории исчезнет натяжение нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик? В какой точке шарик пересечет вертикаль, проходящую через точку подвеса.
Решение:
Шарик сначала описывает четверть окружности радиуса, равного длине нити $l$. Затем нить задевает гвоздь О, вбитый в стенку, и шарик описывает дугу окружности вдвое меньшего радиуса. Наконец, когда вес шарика будет сообщать ему центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности, натяжение нити обратится в нуль. Пусть это произойдет в точке М (см. рисунок). Ее положение определим следующим образом. Составляющая веса по направлению радиуса равна $P \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол, образованный нитью в этот момент. Далее, $v^{2}$ в точке $M$ равно $2gH$, где
$H = AB = AO - BO = \frac{l}{2} - \frac{l \cos \alpha}{2}$.
Поэтому центростремительная сила в точке М равна:
$\frac{mv^{2}}{R} = \frac{2m \left ( \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \alpha \right ) g}{l/2} = 2P (1 - \cos \alpha)$.
Итак, в точке М имеем равенство
$P \cos \alpha = 2P(1 - \cos \alpha)$, откуда $\cos \alpha = 2/3$.
Далее шарик летит как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v = \sqrt{ \frac{gl}{3}}$.
В этом случае верхняя точка параболы находится выше уровня точки взлета на:
$\frac{(v \sin \alpha)^{2}}{2g} = \frac{5l}{54}$.
Вертикаль, проходящая через точку подвеса, находится от точки M на расстоянии
$MB = \frac{l \sin \alpha}{2} = \frac{ \sqrt{5}}{6} l$.
Чтобы пройти по горизонтали такой путь, шарику потребуется время:
$t = \frac{MB}{ v \cos \alpha} = \frac{ \sqrt{15}}{4} \sqrt{ \frac{l}{g}}$.
За это время шарик по высоте пройдет путь:
$v \sin \alpha t - \frac{gt^{2}}{2} = - \frac{5l}{96}$,
т.е. пересечет вертикаль АО в точке, лежащей на $\frac{5l}{96}$ ниже точки B
