Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5616
2017-12-09 
Беспечный заяц, ничего вокруг не замечая, бежал с постоянной скоростью по прямой тропинке вдоль поля, а на поле на расстоянии $L$ от тропинки сидела голодная лиса. Она увидела зайца. Kin да он находился в ближайшей к ней точке тропинки, и тут же пустилась в погоню. Лиса бежала с такой же по величине скоростью, что и заяц, и при этом все время "держала курс" на зайца. Через некоторое время лиса оказалась почти на тропинке, и расстояние между ней и зайцем перестало меняться. Каким стало это расстояние? Через сколько времени $t$ лиса догонит зайца, если ее скорость $U$ превышает скорость зайца $V$?
Решение:
Пусть в начальный момент заяц был в точке А, а лиса - в точке В. Лиса бежит по достаточно сложной кривой (см. рисунок), однако мы, подобно барону, не будем теряться и попробуем для начала определить, с какой скоростью лиса приближается к зайцу.
Пусть в некоторый момент лиса находится в точке $B^{ \prime}$ и ее скорость направлена под углом $\alpha$ к скорости зайца. Проецируя обе скорости на направление скорости лисы, получаем, что скорость сближения лисы и зайца $v_{1} = v - v \cos \alpha$. К сожалению, в эту формулу входит угол $\alpha$, меняющийся со временем. Попробуем найти еще величину, куда входит угол $\alpha$. Спроецируем положение лисы на линию тропинки (точка $B^{ \prime \prime}$). В рассматриваемый момент точка $B^{ \prime \prime}$ движется как раз со скоростью $v \cos \alpha u$, и значит, заяц удаляется от точки $B^{ \prime \prime}$ движется как раз со скоростью $v_{2} = v - v \cos \alpha \alpha$. Скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ совпали! Это означает, что расстояние $B^{ \prime \prime} A^{ \prime}$ растет точно с такой же скоростью, с какой уменьшается расстояние $B^{ \prime}A^{ \prime}$, т.е. сумма этих расстояний останется неизменной! Мы нашли в нашей задаче своеобразный «закон сохранения»:
$B^{ \prime} A^{ \prime} + B^{ \prime}A^{ \prime} = const$.
Поскольку в начальный момент времени $B^{ \prime \prime}A^{ \prime} = 0$, а $B^{ \prime} A^{ \prime} = L$, получаем:
$B^{ \prime} A^{ \prime} + B^{ \prime}A^{ \prime} = L$. (1)
Через достаточно большой промежуток времени ( что нас и интересует) лиса будет бежать практически по самой тропинке, т.е. точки $B^{ \prime}$ и $B^{ \prime \prime}$ совпадут. Тогда $B^{ \prime \prime}A^{ \prime} = B^{ \prime}A^{ \prime}$ совпадут. Тогда $B^{ \prime \prime} A^{ \prime} = B^{ \prime}A^{ \prime}$. Из формулы (1) следует, что $B^{ \prime \prime}A^{ \prime} = B^{ \prime} A^{ \prime} = L/2$. Итак, через достаточно большое время ($t \gg L / v$) расстояние между лисой и зайцем будет вдвое меньше начального. Стоит, наверно, обратить внимание на то, что мы не можем найти вид траектории движения лисы в этой задаче: ее движение является слишком сложным. Но это не помешало нам ответить на поставленные вопросы, потому что из переменных величин удалось составить постоянную величину, имеющую важный .
Повторив рассуждения, приведенные в начале решения
$\begin{cases} v_{1} = u - v \cos \alpha, \\ v_{2} = v - u \cos \alpha. \end{cases}$ (2)
(Заметим, что $v_{2}$ вначале положительна, но через некоторое время становится отрицательной, когда точка $B^{ \prime \prime}$ начнет приближаться к точке $A^{ \prime}$). Исключая $\cos \alpha$ из уравнений (2), получим: $vv_{2} - uv_{1} = v^{2} - u^{2}$, или (учитывая что:
$v_{1} = - \frac{ \Delta A^{ \prime}B^{ \prime} }{ \Delta t }$,
$v_{2} = \frac{ A^{ \prime}B^{ \prime} }{ \Delta t }$,
а величины $v$ и $u$ постоянны):
$\frac{ \Delta ( v \cdot A^{ \prime}B^{ \prime \prime} + u \cdot A^{ \prime}B^{ \prime} ) }{ \Delta t} = v^{2} - u^{2} < 0$.
Итак, величина $v \cdot A^{ \prime} B^{ \prime \prime} + u A^{ \prime} B^{ \prime}$ убывает с постоянной скоростью $u^{2} - v^{2}$. Начальное значение этой величины $uL$, конечное (в трагический для зайца момент) равно нулю. Промежуток времени между этими моментами:
$t = \frac{uL}{u^{2} - v^{2} }$.
Ответ: $l = \frac{L}{2} , t = \frac{uL}{u^{2} - v^{2} }$.
Беспечный заяц, ничего вокруг не замечая, бежал с постоянной скоростью по прямой тропинке вдоль поля, а на поле на расстоянии $L$ от тропинки сидела голодная лиса. Она увидела зайца. Kin да он находился в ближайшей к ней точке тропинки, и тут же пустилась в погоню. Лиса бежала с такой же по величине скоростью, что и заяц, и при этом все время "держала курс" на зайца. Через некоторое время лиса оказалась почти на тропинке, и расстояние между ней и зайцем перестало меняться. Каким стало это расстояние? Через сколько времени $t$ лиса догонит зайца, если ее скорость $U$ превышает скорость зайца $V$?
Решение:
Пусть в начальный момент заяц был в точке А, а лиса - в точке В. Лиса бежит по достаточно сложной кривой (см. рисунок), однако мы, подобно барону, не будем теряться и попробуем для начала определить, с какой скоростью лиса приближается к зайцу.
Пусть в некоторый момент лиса находится в точке $B^{ \prime}$ и ее скорость направлена под углом $\alpha$ к скорости зайца. Проецируя обе скорости на направление скорости лисы, получаем, что скорость сближения лисы и зайца $v_{1} = v - v \cos \alpha$. К сожалению, в эту формулу входит угол $\alpha$, меняющийся со временем. Попробуем найти еще величину, куда входит угол $\alpha$. Спроецируем положение лисы на линию тропинки (точка $B^{ \prime \prime}$). В рассматриваемый момент точка $B^{ \prime \prime}$ движется как раз со скоростью $v \cos \alpha u$, и значит, заяц удаляется от точки $B^{ \prime \prime}$ движется как раз со скоростью $v_{2} = v - v \cos \alpha \alpha$. Скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ совпали! Это означает, что расстояние $B^{ \prime \prime} A^{ \prime}$ растет точно с такой же скоростью, с какой уменьшается расстояние $B^{ \prime}A^{ \prime}$, т.е. сумма этих расстояний останется неизменной! Мы нашли в нашей задаче своеобразный «закон сохранения»:
$B^{ \prime} A^{ \prime} + B^{ \prime}A^{ \prime} = const$.
Поскольку в начальный момент времени $B^{ \prime \prime}A^{ \prime} = 0$, а $B^{ \prime} A^{ \prime} = L$, получаем:
$B^{ \prime} A^{ \prime} + B^{ \prime}A^{ \prime} = L$. (1)
Через достаточно большой промежуток времени ( что нас и интересует) лиса будет бежать практически по самой тропинке, т.е. точки $B^{ \prime}$ и $B^{ \prime \prime}$ совпадут. Тогда $B^{ \prime \prime}A^{ \prime} = B^{ \prime}A^{ \prime}$ совпадут. Тогда $B^{ \prime \prime} A^{ \prime} = B^{ \prime}A^{ \prime}$. Из формулы (1) следует, что $B^{ \prime \prime}A^{ \prime} = B^{ \prime} A^{ \prime} = L/2$. Итак, через достаточно большое время ($t \gg L / v$) расстояние между лисой и зайцем будет вдвое меньше начального. Стоит, наверно, обратить внимание на то, что мы не можем найти вид траектории движения лисы в этой задаче: ее движение является слишком сложным. Но это не помешало нам ответить на поставленные вопросы, потому что из переменных величин удалось составить постоянную величину, имеющую важный .
Повторив рассуждения, приведенные в начале решения
$\begin{cases} v_{1} = u - v \cos \alpha, \\ v_{2} = v - u \cos \alpha. \end{cases}$ (2)
(Заметим, что $v_{2}$ вначале положительна, но через некоторое время становится отрицательной, когда точка $B^{ \prime \prime}$ начнет приближаться к точке $A^{ \prime}$). Исключая $\cos \alpha$ из уравнений (2), получим: $vv_{2} - uv_{1} = v^{2} - u^{2}$, или (учитывая что:
$v_{1} = - \frac{ \Delta A^{ \prime}B^{ \prime} }{ \Delta t }$,
$v_{2} = \frac{ A^{ \prime}B^{ \prime} }{ \Delta t }$,
а величины $v$ и $u$ постоянны):
$\frac{ \Delta ( v \cdot A^{ \prime}B^{ \prime \prime} + u \cdot A^{ \prime}B^{ \prime} ) }{ \Delta t} = v^{2} - u^{2} < 0$.
Итак, величина $v \cdot A^{ \prime} B^{ \prime \prime} + u A^{ \prime} B^{ \prime}$ убывает с постоянной скоростью $u^{2} - v^{2}$. Начальное значение этой величины $uL$, конечное (в трагический для зайца момент) равно нулю. Промежуток времени между этими моментами:
$t = \frac{uL}{u^{2} - v^{2} }$.
Ответ: $l = \frac{L}{2} , t = \frac{uL}{u^{2} - v^{2} }$.
