Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5613
2017-12-09 
Тонкая стеклянная трубка изогнута в виде буквы V, колена трубки составляют угол а=60°. Одно колено трубки отделено от другого закрытым краном. Трубка закреплена , неподвижно так, что одно из колен оказывается вертикальным, в него налита до высоты $H$ вода, как показано на рис. Кран открывают, и вода начинает перетекать в другое колено трубки. Считая, что вода не перемешивается и выделение тепла не происходит, найти период происходящего в системе процесса.
Решение:
После открывания крана вода начинает перетекать из вертикального колена в наклонное, причем по мере перетекания ускорение жидкости уменьшается. Обозначим высоту столба жидкости в вертикальном колене в некоторый момент времени через х, тогда в наклонном колене длина столба жидкости будет $(H - x)$. Ускорение определяется уравнением движения жидкости:
$\rho Sgx - \rho Sg(H - x) \cos \alpha = - \rho SH x^{ \prime \prime}$
Это уравнение можно получить, записав уравнение движения каждого участка жидкости в проекции на направление, совпадающее с «осью» трубки, а затем, сложив все уравнения (а можно и воспользоваться законом сохранения энергии).
Полученное уравнение очень напоминает уравнение гармонических колебаний, причем положение равновесия $(x^{ \prime \prime} = 0)$ соответствует координате:
$x_{0} = \frac{H \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$.
Для смещения $x_{ж} = x - x_{0}$ от положения равновесия, уравнение можно записать в виде:
$x_{ж}^{ \prime \prime} + \frac{g(1 + \cos \alpha)}{H} x_{ж} = 0$.
Решение этого уравнения гармонических колебаний является:
$x_{ж} = \frac{H}{1 + \cos \alpha} \cos \omega t$, где
$\omega = \sqrt{ \frac{g(1 + \cos \alpha)}{H}}$,
$\omega$ - частота колебаний.
Однако, после того, как весь столбик жидкости попадает в наклонный канал (рис.1) «гармоничность» пропадает - движение жидкости становится равноускоренным (как у груза на наклонной плоскости). Так продолжается до тех пор, пока центр тяжести столбика не окажется на начальной высоте $H/2$ (рис. 2), после чего жидкость едет вниз и входит обратно в вертикальное .
Период происходящего в системе процесса равен удвоенной сумме времен «гармонического» уменьшения координаты х до нуля и времени подъема в наклонном канале. Первое из времен обращает координату $x$ в ноль:
$\cos \omega t_{1} + \cos \alpha = 0$;
$t_{1} = \frac{ \pi - \alpha}{ \omega}$
В тот момент, когда весь столбик воды попадает в наклонное колено, высота центра тяжести составляет $0,5H \cos \alpha$, а вертикальная составляющая ускорения равна: $a = g \cos^{2} \alpha$.
Время движения до верхней точки определим из соотношения:
$\frac{at_{2}^{2}}{2} = \frac{1}{2} H (1 - \cos \alpha)$.
Итак, период всего процесса равен:
$T = 2 (t_{1} + t_{2})$.
Для угла $\alpha =60^{ \circ} = \pi /3$ это составляет:
$T = 2 \sqrt{ \frac{2H}{g} \left ( \frac{2 \sqrt{3} \pi}{9} + 1 \right ) }$.
Тонкая стеклянная трубка изогнута в виде буквы V, колена трубки составляют угол а=60°. Одно колено трубки отделено от другого закрытым краном. Трубка закреплена , неподвижно так, что одно из колен оказывается вертикальным, в него налита до высоты $H$ вода, как показано на рис. Кран открывают, и вода начинает перетекать в другое колено трубки. Считая, что вода не перемешивается и выделение тепла не происходит, найти период происходящего в системе процесса.
Решение:
После открывания крана вода начинает перетекать из вертикального колена в наклонное, причем по мере перетекания ускорение жидкости уменьшается. Обозначим высоту столба жидкости в вертикальном колене в некоторый момент времени через х, тогда в наклонном колене длина столба жидкости будет $(H - x)$. Ускорение определяется уравнением движения жидкости:
$\rho Sgx - \rho Sg(H - x) \cos \alpha = - \rho SH x^{ \prime \prime}$
Это уравнение можно получить, записав уравнение движения каждого участка жидкости в проекции на направление, совпадающее с «осью» трубки, а затем, сложив все уравнения (а можно и воспользоваться законом сохранения энергии).
Полученное уравнение очень напоминает уравнение гармонических колебаний, причем положение равновесия $(x^{ \prime \prime} = 0)$ соответствует координате:
$x_{0} = \frac{H \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$.
Для смещения $x_{ж} = x - x_{0}$ от положения равновесия, уравнение можно записать в виде:
$x_{ж}^{ \prime \prime} + \frac{g(1 + \cos \alpha)}{H} x_{ж} = 0$.
Решение этого уравнения гармонических колебаний является:
$x_{ж} = \frac{H}{1 + \cos \alpha} \cos \omega t$, где
$\omega = \sqrt{ \frac{g(1 + \cos \alpha)}{H}}$,
$\omega$ - частота колебаний.
Однако, после того, как весь столбик жидкости попадает в наклонный канал (рис.1) «гармоничность» пропадает - движение жидкости становится равноускоренным (как у груза на наклонной плоскости). Так продолжается до тех пор, пока центр тяжести столбика не окажется на начальной высоте $H/2$ (рис. 2), после чего жидкость едет вниз и входит обратно в вертикальное .
Период происходящего в системе процесса равен удвоенной сумме времен «гармонического» уменьшения координаты х до нуля и времени подъема в наклонном канале. Первое из времен обращает координату $x$ в ноль:
$\cos \omega t_{1} + \cos \alpha = 0$;
$t_{1} = \frac{ \pi - \alpha}{ \omega}$
В тот момент, когда весь столбик воды попадает в наклонное колено, высота центра тяжести составляет $0,5H \cos \alpha$, а вертикальная составляющая ускорения равна: $a = g \cos^{2} \alpha$.
Время движения до верхней точки определим из соотношения:
$\frac{at_{2}^{2}}{2} = \frac{1}{2} H (1 - \cos \alpha)$.
Итак, период всего процесса равен:
$T = 2 (t_{1} + t_{2})$.
Для угла $\alpha =60^{ \circ} = \pi /3$ это составляет:
$T = 2 \sqrt{ \frac{2H}{g} \left ( \frac{2 \sqrt{3} \pi}{9} + 1 \right ) }$.
