Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 561
2014-06-01 
Шарик невесомой нерастяжимой нитью прикреплен к неподвижному цилиндру радиуса $r$. Первоначально нить была намотана так, что шарик касался цилиндра. В некоторый момент времени шарику была сообщена скорость и в радиальном направлении и нить начала разматываться (рис.).
Найдите длину $l$ размотанного участка нити к моменту времени $t$. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
В каждый момент времени через точку касания нити с цилиндром проходит мгновенная ось вращения шарика. Это означает, что сила натяжения нити перпендикулярна скорости шарика, откуда следует, что эта сила не совершает работы. Тем самым кинетическая энергия шарика не меняется, и его скорость остается по модулю равной $v$.
Чтобы найти зависимость $l$ от $t$, мысленно разобьем размотавшуюся к моменту $t$ часть шин на очень большое число $N$ малых равных кусочков длины $\Delta l = l/N$ каждый. Пусть разматывание n-го кусочка продолжалось время $\Delta t_{n}$. За это время конец нити переместился на расстояние $v \Delta t_{n}$, а сама нить повернулась на угол $\Delta \phi_{n} = v \Delta t_{n}/(n \Delta l)$ (рис.). На этот же угол повернулся и радиус, проведенный в точку касания нити с цилиндром, т. е.
$\Delta \phi_{n} = \Delta \phi = \Delta l/r$;
отсюда
$\Delta t_{n} = n (\Delta l)^{2}/(vr)$.
Тогда
$t = \Delta t_{1} + \Delta t_{2} + \cdots + \Delta t_{N} = \frac{1 (\Delta l)^{2}}{vr} + {2 (\Delta l)^{2}}{vr} + \cdots + \frac{N (\Delta l)^{2}}{vr} = \frac{(\Delta l)^{2}}{vr} \frac{N(N+1)}{2}$.
Поскольку $N$ велико,
$t = (\Delta l)^{2} N^{2} / (2vr) = l^{2}/(2vr), l = \sqrt{2vrt}$.
Шарик невесомой нерастяжимой нитью прикреплен к неподвижному цилиндру радиуса $r$. Первоначально нить была намотана так, что шарик касался цилиндра. В некоторый момент времени шарику была сообщена скорость и в радиальном направлении и нить начала разматываться (рис.).
Найдите длину $l$ размотанного участка нити к моменту времени $t$. Силой тяжести пренебречь.
Решение:
В каждый момент времени через точку касания нити с цилиндром проходит мгновенная ось вращения шарика. Это означает, что сила натяжения нити перпендикулярна скорости шарика, откуда следует, что эта сила не совершает работы. Тем самым кинетическая энергия шарика не меняется, и его скорость остается по модулю равной $v$.
Чтобы найти зависимость $l$ от $t$, мысленно разобьем размотавшуюся к моменту $t$ часть шин на очень большое число $N$ малых равных кусочков длины $\Delta l = l/N$ каждый. Пусть разматывание n-го кусочка продолжалось время $\Delta t_{n}$. За это время конец нити переместился на расстояние $v \Delta t_{n}$, а сама нить повернулась на угол $\Delta \phi_{n} = v \Delta t_{n}/(n \Delta l)$ (рис.). На этот же угол повернулся и радиус, проведенный в точку касания нити с цилиндром, т. е.
$\Delta \phi_{n} = \Delta \phi = \Delta l/r$;
отсюда
$\Delta t_{n} = n (\Delta l)^{2}/(vr)$.
Тогда
$t = \Delta t_{1} + \Delta t_{2} + \cdots + \Delta t_{N} = \frac{1 (\Delta l)^{2}}{vr} + {2 (\Delta l)^{2}}{vr} + \cdots + \frac{N (\Delta l)^{2}}{vr} = \frac{(\Delta l)^{2}}{vr} \frac{N(N+1)}{2}$.
Поскольку $N$ велико,
$t = (\Delta l)^{2} N^{2} / (2vr) = l^{2}/(2vr), l = \sqrt{2vrt}$.
