ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-12-09   
Вокруг Земли обращается два спутника с компланарными круговыми орбитами $R_{1}$ и $R_{2}$. Какую часть от периода составляет время устойчивой радиосвязи между ними?


Решение:



Перейдем в систему отсчета, связанную с 1-м спутником, тогда:

$\vec{ \omega}_{2} = \vec{ \omega}_{1} + \vec{ \omega}_{2}$.

Найдем угол $\alpha$ отсутствия радиосвязи:

$\alpha = 2 \pi - 2 \beta - 2 \gamma = 2 \left ( \pi - arccos \frac{R_{3}}{R_{1}} - arccos \frac{R_{3}}{R_{2}} \right )$.

Время отсутствия радиосвязи в этой системе отсчета:

$t = \frac{ \alpha}{ \omega_{2}}; \omega_{2} = \frac{2 \pi}{T_{1}} \pm \frac{2 \pi}{T_{2}}$

(«+» в случае однонаправленного движения, «-» в случае разнонаправленного движения). По третьему закону Кеплера:

$T_{1} = T_{2} \sqrt{ \frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}}$

Тогда:

$\omega_{2} = \frac{2 \pi}{T_{2}} \left ( \sqrt{ \frac{R_{2}^{3}}{R_{1}^{3}}} \pm 1 \right )$

И, окончательно имеем:

$\frac{t}{T_{2}} = \frac{1}{2 \pi} \frac{ \pi - arccos \frac{R_{3}}{R_{1}} - arccos \frac{R_{3}}{R_{2}} }{ \sqrt{ \frac{R_{2}^{3}}{R_{1}^{3}}} \pm 1}$

Время наличия связи: $t^{ \prime} = T_{2} - t$.
Итак,

$\frac{t}{T_{2}} =1 - \frac{ \sqrt{R_{1}^{3}}}{2 \pi} \frac{ \pi - arccos \frac{R_{3}}{R_{1}} - arccos \frac{R_{3}}{R_{2}} }{ \sqrt{ R_{2}^{3} } \pm \sqrt{R_{1}^{3}}}$