Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5600
2017-12-05 
Злоумышленник обломал минутную стрелку настенных часов так, что она перестала отличаться от часовой. Можно ли по этим часам узнать который час? Механизм продолжает работать исправно.
Решение:
Пусть $\alpha$ - угол между какой-либо стрелкой и направлением на 12 (или 0). Если $\alpha = 30^{ \circ} N$, где $N = 0,1,2,3,4, \cdots ,11$, то положения минутной и часовой стрелок определяется однозначно: минутная – на 12, по часовой находим время (целое число часов). Если $\alpha = 30^{ \circ} N + \Delta \alpha (0 < \Delta \alpha < 30^{ \circ})$, и попрежнему $N$ – число целое: от 0 до 11, то для обеих стрелок:
$\alpha_{1} = 30^{ \circ} N_{1} + \Delta \alpha_{1}$ (1) и $\alpha_{2} = 30^{ \circ} N_{2} + \Delta \alpha_{2}$ (2).
Здесь не сразу ясно, какая из стрелок минутная, а какая – часовая.
Если 1-ая стрелка – минутная, то $\alpha_{1} = 12 \Delta \alpha_{2}$ (3) и соответствующее показание часов равно $N_{2}$ – часов и $\frac{ \alpha_{1}}{360^{ \circ}} \cdot 60$ минут.
Если 2-ая стрелка – минутная, то $\alpha_{2} = 12 \Delta \alpha_{1}$ (3) и соответствующее показание часов равно $N_{1}$ – часов и $\frac{ \alpha_{2}}{360^{ \circ}} 60$ минут.
Докажем, что одновременно равенства (3) и (4) не выполняются, т.е. и здесь время по часам находится однозначно.
Для этого запишем (1) и (2) с учетом (3) и (4):
$12 \Delta \alpha_{2} = 30^{ \circ} N_{1} + \Delta \alpha_{1}$;
$12 \Delta \alpha_{1} = 30^{ \circ} N_{2} + \Delta \alpha_{2}$.
После вычитания имеем: $13( \Delta \alpha_{2} - \Delta \alpha_{1} ) = 30^{ \circ} (N_{1} - N_{2} )$. Так как ни один из сомножителей левой части этого уравнения не делится на $30^{ \circ}$ без остатка, то $N_{1} - N_{2}$ не является целым числом, т.е. целым является одно из чисел: либо $N_{1}$, либо $N_{2}$, и верным будет либо (3), либо (4). Как в каждом случае находится показание часов, уже было указано выше.
Злоумышленник обломал минутную стрелку настенных часов так, что она перестала отличаться от часовой. Можно ли по этим часам узнать который час? Механизм продолжает работать исправно.
Решение:
Пусть $\alpha$ - угол между какой-либо стрелкой и направлением на 12 (или 0). Если $\alpha = 30^{ \circ} N$, где $N = 0,1,2,3,4, \cdots ,11$, то положения минутной и часовой стрелок определяется однозначно: минутная – на 12, по часовой находим время (целое число часов). Если $\alpha = 30^{ \circ} N + \Delta \alpha (0 < \Delta \alpha < 30^{ \circ})$, и попрежнему $N$ – число целое: от 0 до 11, то для обеих стрелок:
$\alpha_{1} = 30^{ \circ} N_{1} + \Delta \alpha_{1}$ (1) и $\alpha_{2} = 30^{ \circ} N_{2} + \Delta \alpha_{2}$ (2).
Здесь не сразу ясно, какая из стрелок минутная, а какая – часовая.
Если 1-ая стрелка – минутная, то $\alpha_{1} = 12 \Delta \alpha_{2}$ (3) и соответствующее показание часов равно $N_{2}$ – часов и $\frac{ \alpha_{1}}{360^{ \circ}} \cdot 60$ минут.
Если 2-ая стрелка – минутная, то $\alpha_{2} = 12 \Delta \alpha_{1}$ (3) и соответствующее показание часов равно $N_{1}$ – часов и $\frac{ \alpha_{2}}{360^{ \circ}} 60$ минут.
Докажем, что одновременно равенства (3) и (4) не выполняются, т.е. и здесь время по часам находится однозначно.
Для этого запишем (1) и (2) с учетом (3) и (4):
$12 \Delta \alpha_{2} = 30^{ \circ} N_{1} + \Delta \alpha_{1}$;
$12 \Delta \alpha_{1} = 30^{ \circ} N_{2} + \Delta \alpha_{2}$.
После вычитания имеем: $13( \Delta \alpha_{2} - \Delta \alpha_{1} ) = 30^{ \circ} (N_{1} - N_{2} )$. Так как ни один из сомножителей левой части этого уравнения не делится на $30^{ \circ}$ без остатка, то $N_{1} - N_{2}$ не является целым числом, т.е. целым является одно из чисел: либо $N_{1}$, либо $N_{2}$, и верным будет либо (3), либо (4). Как в каждом случае находится показание часов, уже было указано выше.
