Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5599
2017-12-05 
На сколько компонент расщепится в магнитном поле уровень энергии электрона с квантовым числом $l = 2$, и какова будет разность энергий соседних уровней, если напряженность магнитного поля равна 5000Э?
Решение:
Электрон в связи с движением в оболочке атома имеет магнитный момент:
$\vec{M} = \frac{Y}{c} \vec{S} = - \frac{e v}{c} \pi r^{2} \vec{n}_{0}$.
Соответственно, в магнитном поле $\vec{H}$ он обладает энергией:
$W = W_{0} - ( \vec{M} \cdot \vec{H}) = W_{0} - M_{H} \cdot H$.
Проекция магнитного момента на $\vec{H}$ квантуется:
$M = - \frac{e}{2m_{e}c} L_{H} = - \frac{e}{2m_{e}c} m \hbar$, (1)
где $m = - l, -l + 1, \cdots , 0, \cdot , l - 1, l$. (всего $2l + 1$ значений).
Отсюда следует, что и энергия $W$ принимает $2l + 1 = 5$ значений с разностью между соседними уровнями:
$W_{m+1} - W_{m} = \frac{e \hbar}{2m_{e}c} H$
$W_{m+1} - W_{m} = 0,46 \cdot 10^{-23} Дж = 2,9 \cdot 10^{-5} эВ$
Ответ: уровней энергии 5, разность энергий соседних уровней $\approx 3 \cdot 10^{ -5} эВ$.
Примечание: Для доказательства (1) надо учесть, что магнитный момент пропорционален дискретной величине – моменту импульса:
$\vec{L} = [ \vec{r}, \vec{p}] = rm_{e} V \vec{n}_{0} = 2 \pi r^{2} m_{e} v \cdot \vec{n}_{0}$
( Дискретность $\vec{l}$ выражается формулой:
$\vec{L}^{2} = \hbar^{2} l(l + 1)$,
где $l = 0,1,2, \cdots , n - 1$, а $n$ – главное квантовое число).
Сопоставляя выражения для $\vec{L}$ и $\vec{M}$, получим:
$\vec{M} = - \frac{e}{2m_{e}c} \vec{L}$,
а значит и $M_{H} = - \frac{e}{2m_{e}c} L_{H}$. Но проекция углового момента на любое направление также квантуется:
$L_{H} = m \hbar, (m = - l, - l + 1, \cdots ,0, \cdots ,l)$
Таким образом:
$M_{H} = - \frac{e}{2m_{e}c} m \hbar$
На сколько компонент расщепится в магнитном поле уровень энергии электрона с квантовым числом $l = 2$, и какова будет разность энергий соседних уровней, если напряженность магнитного поля равна 5000Э?
Решение:
Электрон в связи с движением в оболочке атома имеет магнитный момент:
$\vec{M} = \frac{Y}{c} \vec{S} = - \frac{e v}{c} \pi r^{2} \vec{n}_{0}$.
Соответственно, в магнитном поле $\vec{H}$ он обладает энергией:
$W = W_{0} - ( \vec{M} \cdot \vec{H}) = W_{0} - M_{H} \cdot H$.
Проекция магнитного момента на $\vec{H}$ квантуется:
$M = - \frac{e}{2m_{e}c} L_{H} = - \frac{e}{2m_{e}c} m \hbar$, (1)
где $m = - l, -l + 1, \cdots , 0, \cdot , l - 1, l$. (всего $2l + 1$ значений).
Отсюда следует, что и энергия $W$ принимает $2l + 1 = 5$ значений с разностью между соседними уровнями:
$W_{m+1} - W_{m} = \frac{e \hbar}{2m_{e}c} H$
$W_{m+1} - W_{m} = 0,46 \cdot 10^{-23} Дж = 2,9 \cdot 10^{-5} эВ$
Ответ: уровней энергии 5, разность энергий соседних уровней $\approx 3 \cdot 10^{ -5} эВ$.
Примечание: Для доказательства (1) надо учесть, что магнитный момент пропорционален дискретной величине – моменту импульса:
$\vec{L} = [ \vec{r}, \vec{p}] = rm_{e} V \vec{n}_{0} = 2 \pi r^{2} m_{e} v \cdot \vec{n}_{0}$
( Дискретность $\vec{l}$ выражается формулой:
$\vec{L}^{2} = \hbar^{2} l(l + 1)$,
где $l = 0,1,2, \cdots , n - 1$, а $n$ – главное квантовое число).
Сопоставляя выражения для $\vec{L}$ и $\vec{M}$, получим:
$\vec{M} = - \frac{e}{2m_{e}c} \vec{L}$,
а значит и $M_{H} = - \frac{e}{2m_{e}c} L_{H}$. Но проекция углового момента на любое направление также квантуется:
$L_{H} = m \hbar, (m = - l, - l + 1, \cdots ,0, \cdots ,l)$
Таким образом:
$M_{H} = - \frac{e}{2m_{e}c} m \hbar$
