Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5598
2017-12-05 
Ваня спешит на свидание с Машей, поджидаемой его в беседке, находящейся на расстоянии 20 м от аллеи, по которой бежит Ваня. По какому пути должен двигаться Ваня, чтобы достичь желанной цели в кратчайшее время, если его скорость по аллее 9 м/с, а по саду всего 6 м/с. 31.
Решение:
$t = \frac{l - x}{V_{1}} + \frac{ \sqrt{h^{2} + x^{2}}}{V_{2}}$,
$t^{ \prime} = - \frac{1}{V_{1}} + \frac{2x}{ 2V_{2} \sqrt{h^{2} + x^{2}}}$.
$t^{ \prime} = 0 \Rightarrow \frac{x}{ V_{2} \sqrt{h^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{V_{1}} \Rightarrow x = \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$.
$\begin{cases} x < \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}} \Rightarrow t^{ \prime} < 0 \\ x > \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}} \Rightarrow t^{ \prime} > 0 \end{cases} \Rightarrow$
$x = \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$ - соответствует $t_{min}$.
Итак, Ване следует сойти с аллеи в точке А, находящейся на расстоянии:
$AM = \sqrt{ \frac{h^{2}V_{2}^{2}}{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}} + h^{2}} = \frac{hV_{1}}{ \sqrt{ V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$
от беседки, и бежать к беседке по прямой АМ.
Если Ваня начинает движение из точки, находящейся между точками А и О, то он сразу должен бежать к беседке по прямой (по саду), так как в этом случае:
$x \leq BO < AO = \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$.
Но при этих значениях аргумента, функция $t(x)$ убывает с возрастанием $x$, т.е. минимальна при $x = BO$.
Задача может быть отнесена к разделу «Оптика» из-за того, что здесь имеется аналогия с явлением полного отражения:
$\sin \alpha = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} \Rightarrow \frac{x}{ \sqrt{ x^{2} + h^{2}}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} \Rightarrow x = \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$.
Ваня спешит на свидание с Машей, поджидаемой его в беседке, находящейся на расстоянии 20 м от аллеи, по которой бежит Ваня. По какому пути должен двигаться Ваня, чтобы достичь желанной цели в кратчайшее время, если его скорость по аллее 9 м/с, а по саду всего 6 м/с. 31.
Решение:
$t = \frac{l - x}{V_{1}} + \frac{ \sqrt{h^{2} + x^{2}}}{V_{2}}$,
$t^{ \prime} = - \frac{1}{V_{1}} + \frac{2x}{ 2V_{2} \sqrt{h^{2} + x^{2}}}$.
$t^{ \prime} = 0 \Rightarrow \frac{x}{ V_{2} \sqrt{h^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{V_{1}} \Rightarrow x = \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$.
$\begin{cases} x < \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}} \Rightarrow t^{ \prime} < 0 \\ x > \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}} \Rightarrow t^{ \prime} > 0 \end{cases} \Rightarrow$
$x = \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$ - соответствует $t_{min}$.
Итак, Ване следует сойти с аллеи в точке А, находящейся на расстоянии:
$AM = \sqrt{ \frac{h^{2}V_{2}^{2}}{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}} + h^{2}} = \frac{hV_{1}}{ \sqrt{ V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$
от беседки, и бежать к беседке по прямой АМ.
Если Ваня начинает движение из точки, находящейся между точками А и О, то он сразу должен бежать к беседке по прямой (по саду), так как в этом случае:
$x \leq BO < AO = \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$.
Но при этих значениях аргумента, функция $t(x)$ убывает с возрастанием $x$, т.е. минимальна при $x = BO$.
Задача может быть отнесена к разделу «Оптика» из-за того, что здесь имеется аналогия с явлением полного отражения:
$\sin \alpha = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} \Rightarrow \frac{x}{ \sqrt{ x^{2} + h^{2}}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} \Rightarrow x = \frac{hV_{2}}{ \sqrt{V_{1}^{2} - V_{2}^{2}}}$.
