Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5597
2017-12-05 
Найдите потенциал, создаваемый большой пластиной, на единицу площади которой приходится $N$ диполей, как функцию расстояния от этой пластины. Считайте, что все диполи обладают дипольным моментом $\vec{p}$, направленным перпендикулярно поверхности пластины.
Решение:
Проекция напряженности поля диполя в точке А на ось Y (параллельную оси диполя) имеет вид:
$E_{y} = \frac{p(2h^{2} - x^{2})}{(x^{2} + h^{2})^{ 5/2}}$.
При $x = 0: E_{y} = \frac{2p}{h^{3}}$,
при $h = 0: E_{y} = - \frac{p}{x^{3}}$.
Напряженность поля всех диполей, находящихся в кольце радиуса $x$ и шириной ( толщиной) $dx$ равна:
$dE = \frac{p(2h^{2} - x^{2})}{(x^{2} + h^{2})^{5/2}} \cdot N 2 \pi x dx$.
Напряженность поля пластины выразится интегралом:
$E = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi pN (2h^{2} - x^{2})(x^{2} + h^{2})^{ - 5/2} xdx = 0$.
Выходит, что потенциал не зависит от $h$.
2-й способ
Потенциал поля диполя в точке А (рис.1) равен:
$\phi_{дип} = \frac{q}{ \sqrt{x^{2} + \left ( h - \frac{l}{2} \right )^{2}}} - \frac{q}{ x^{2} + \left ( h + \frac{l}{2} \right )^{2} } = \frac{ph}{ \sqrt{(x^{2} + h^{2})^{3}}}$.
Потенциал поля кольца диполей (рис.2):
$d \phi = \frac{ph}{ \sqrt{(x^{2} + h^{2})^{3}}} N \cdot 2 \pi xdx$.
Тогда потенциал поля пластины в точке А:
$\phi = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi pNh \left ( x^{2} + h^{2} \right )^{-3/2} xdx = 2 \pi pN$.
Таким образом, результат, полученный первым способом, подтвердился.
Ответ: $\phi = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi pNh \left ( x^{2} + h^{2} \right )^{-3/2} xdx = 2 \pi pN$.
Найдите потенциал, создаваемый большой пластиной, на единицу площади которой приходится $N$ диполей, как функцию расстояния от этой пластины. Считайте, что все диполи обладают дипольным моментом $\vec{p}$, направленным перпендикулярно поверхности пластины.
Решение:
Проекция напряженности поля диполя в точке А на ось Y (параллельную оси диполя) имеет вид:
$E_{y} = \frac{p(2h^{2} - x^{2})}{(x^{2} + h^{2})^{ 5/2}}$.
При $x = 0: E_{y} = \frac{2p}{h^{3}}$,
при $h = 0: E_{y} = - \frac{p}{x^{3}}$.
Напряженность поля всех диполей, находящихся в кольце радиуса $x$ и шириной ( толщиной) $dx$ равна:
$dE = \frac{p(2h^{2} - x^{2})}{(x^{2} + h^{2})^{5/2}} \cdot N 2 \pi x dx$.
Напряженность поля пластины выразится интегралом:
$E = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi pN (2h^{2} - x^{2})(x^{2} + h^{2})^{ - 5/2} xdx = 0$.
Выходит, что потенциал не зависит от $h$.
2-й способ
Потенциал поля диполя в точке А (рис.1) равен:
$\phi_{дип} = \frac{q}{ \sqrt{x^{2} + \left ( h - \frac{l}{2} \right )^{2}}} - \frac{q}{ x^{2} + \left ( h + \frac{l}{2} \right )^{2} } = \frac{ph}{ \sqrt{(x^{2} + h^{2})^{3}}}$.
Потенциал поля кольца диполей (рис.2):
$d \phi = \frac{ph}{ \sqrt{(x^{2} + h^{2})^{3}}} N \cdot 2 \pi xdx$.
Тогда потенциал поля пластины в точке А:
$\phi = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi pNh \left ( x^{2} + h^{2} \right )^{-3/2} xdx = 2 \pi pN$.
Таким образом, результат, полученный первым способом, подтвердился.
Ответ: $\phi = \int_{0}^{ \infty} 2 \pi pNh \left ( x^{2} + h^{2} \right )^{-3/2} xdx = 2 \pi pN$.
