Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5596
2017-12-05 
Маховик, имеющий форму тонкого однородного диска массой $m$ и радиуса $R$, смонтирован на горизонтальной оси, проходящей через центр масс и составляющей угол $\alpha$ с перпендикуляром, восстановленным к плоскости маховика. Чему равна пара сил, приложенная к подшипникам маховика, если он вращается с угловой скоростью $\omega$.
Решение:
Направим ось Х по оси вращения, ось Y лежит в плоскости диска ( ось Y направлена по диаметру диска, перпендикулярному оси вращения). Система координат ОХYZ связана с диском (и вращается вместе с ним ).
Выделим узкую полоску, параллельную ОY, на расстоянии $r$ от нее и толщиной $dr$. На элемент $dl$ этой полоски, отстоящей от ее середины $O_{1}$ на расстоянии $l$, действует центробежная сила инерции:
$df = \omega^{2} \cdot O_{1}^{ \prime} A \cdot dm$.
Момент этой силы относительно оси Y равен произведению:
$df_{z} \cdot OO_{1}^{ \prime} = df \cdot \cos i \cdot OO_{1}^{ \prime} = \omega^{2} \cdot O_{1}^{ \prime} A \cos i OO_{1}^{ \prime} dm = \omega^{2} \cdot OO_{1}^{ \prime} \cdot O_{1}^{ \prime} \cdot O_{1}^{ \prime} O_{1} \cdot dm = \omega^{2} \cdot r \cdot \sin \alpha \cdot r \cdot \cos \alpha \cdot dm = \omega^{2} \cdot r^{2} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot dm$.
Сложив моменты сил, действующих на все элементы полоски, получим:
$dM = \omega^{2} \cdot r^{2} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot dM$,
где $dM$ – уже масса всей полоски. Очевидно:
$dM = \rho b dr \cdot 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 2 \rho b \sqrt{R^{2} - r^{2}} dr$,
где $b$ – толщина диска. С учетом $m = \rho b \pi R^{2}$ имеем:
$dM = \omega^{2} r^{2} \sin \alpha \cos \alpha \cdot 2 \frac{m}{ \pi R^{2}} \sqrt{ R^{2} - r^{2}} dr = \frac{m \omega^{2} \sin 2 \alpha}{ \pi R^{2}} r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}} dr$.
Суммарный момент центробежных сил инерции:
$M = \int_{-R}^{+R} \frac{m \omega^{2} \sin 2 \alpha}{ \pi R^{2}} r^{2} \sqrt{ R^{2} - r^{2}} dr = \frac{1}{8} mR^{2} \omega^{2} \sin 2 \alpha$.
Ответ: $M = \frac{1}{8} mR^{2} \omega^{2} \sin 2 \alpha$.
Маховик, имеющий форму тонкого однородного диска массой $m$ и радиуса $R$, смонтирован на горизонтальной оси, проходящей через центр масс и составляющей угол $\alpha$ с перпендикуляром, восстановленным к плоскости маховика. Чему равна пара сил, приложенная к подшипникам маховика, если он вращается с угловой скоростью $\omega$.
Решение:
Направим ось Х по оси вращения, ось Y лежит в плоскости диска ( ось Y направлена по диаметру диска, перпендикулярному оси вращения). Система координат ОХYZ связана с диском (и вращается вместе с ним ).
Выделим узкую полоску, параллельную ОY, на расстоянии $r$ от нее и толщиной $dr$. На элемент $dl$ этой полоски, отстоящей от ее середины $O_{1}$ на расстоянии $l$, действует центробежная сила инерции:
$df = \omega^{2} \cdot O_{1}^{ \prime} A \cdot dm$.
Момент этой силы относительно оси Y равен произведению:
$df_{z} \cdot OO_{1}^{ \prime} = df \cdot \cos i \cdot OO_{1}^{ \prime} = \omega^{2} \cdot O_{1}^{ \prime} A \cos i OO_{1}^{ \prime} dm = \omega^{2} \cdot OO_{1}^{ \prime} \cdot O_{1}^{ \prime} \cdot O_{1}^{ \prime} O_{1} \cdot dm = \omega^{2} \cdot r \cdot \sin \alpha \cdot r \cdot \cos \alpha \cdot dm = \omega^{2} \cdot r^{2} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot dm$.
Сложив моменты сил, действующих на все элементы полоски, получим:
$dM = \omega^{2} \cdot r^{2} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot dM$,
где $dM$ – уже масса всей полоски. Очевидно:
$dM = \rho b dr \cdot 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 2 \rho b \sqrt{R^{2} - r^{2}} dr$,
где $b$ – толщина диска. С учетом $m = \rho b \pi R^{2}$ имеем:
$dM = \omega^{2} r^{2} \sin \alpha \cos \alpha \cdot 2 \frac{m}{ \pi R^{2}} \sqrt{ R^{2} - r^{2}} dr = \frac{m \omega^{2} \sin 2 \alpha}{ \pi R^{2}} r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}} dr$.
Суммарный момент центробежных сил инерции:
$M = \int_{-R}^{+R} \frac{m \omega^{2} \sin 2 \alpha}{ \pi R^{2}} r^{2} \sqrt{ R^{2} - r^{2}} dr = \frac{1}{8} mR^{2} \omega^{2} \sin 2 \alpha$.
Ответ: $M = \frac{1}{8} mR^{2} \omega^{2} \sin 2 \alpha$.
