Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5592
2017-12-05 
Два катера выходят из точек А и В и движутся равномерно с одинаковыми по модулю скоростями $\vec{V}_{1}$ и $\vec{V}_{2}$, как показано на рис.. Через какое время они окажутся на кратчайшем расстоянии друг от друга? Определите это расстояние. $(AC = a; BC=b; \angle ACB = \alpha; V_{1} = V_{2})$.
Решение:
Расстояние между катерами $|AB| = l$ изменяется со временем. По теореме косинусов:
$|AB|^{2} = |AC|^{2} + |BC|^{2} - 2 |AC| |BC| \cos \alpha$.
В нашем случае получаем:
$l^{2} = (a - v_{1} t)^{2} + (b - v_{2} t )^{2} - 2(a - v_{1} t ) (b - v_{2} t ) \cos \alpha$.
Условие минимума: $\frac{d}{dt} l^{2} = 0$, т.е.,
$2(a - v_{1} t )( - v_{1}) + 2(b - v_{2} t)( - v_{2}) - 2 ( - v_{1} )( b - v_{2} t ) \cos \alpha - 2 (a - v_{1} t) ( - v_{2}) \cos \alpha = 0$.
Решая это уравнение, получаем:
$t = \frac{av_{1} + bv_{2} - (av_{2} + bv_{1}) \cos \alpha}{ v_{1}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha + v_{2}^{2}}$.
Для определения кратчайшего расстояния целесообразно перейти в систему отсчета, связанную с одним из катеров, например, с первым. Искомое расстояние будет $|A_{0} Д| = h$.
Из $\Delta А_{0}ДВ_{0}$: $h^{2} = |A_{0}B_{0}|^{2} - v^{2}t^{2}$.
Из треугольника скоростей находим:
$v^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha$.
Из : $\Delta A_{0}CB_{0}: |A_{0}B_{0}|^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cos \alpha$.
Получаем:
$h^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cos \alpha - \frac{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha)(av_{1} + bv_{2} - (av_{2} + bv_{1}) \cos \alpha)^{2}}{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha)^{2}} = \frac{(av_{2} - bv_{1})^{2} \sin^{2} \alpha}{v_{1}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha + v_{2}^{2}}$.
Тогда $h = \frac{ |av_{2} - bv_{1}| \sin \alpha}{ \sqrt{v_{1}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha + v_{2}^{2}}}$.
При
$v_{1} = v_{2} = U: t = \frac{a+b}{2U}$, если $\alpha \neq 0$ (т.к. при $\alpha = 0, l = | b - a| = const$) и $l_{min} = h = |a - b| \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Два катера выходят из точек А и В и движутся равномерно с одинаковыми по модулю скоростями $\vec{V}_{1}$ и $\vec{V}_{2}$, как показано на рис.. Через какое время они окажутся на кратчайшем расстоянии друг от друга? Определите это расстояние. $(AC = a; BC=b; \angle ACB = \alpha; V_{1} = V_{2})$.
Решение:
Расстояние между катерами $|AB| = l$ изменяется со временем. По теореме косинусов:
$|AB|^{2} = |AC|^{2} + |BC|^{2} - 2 |AC| |BC| \cos \alpha$.
В нашем случае получаем:
$l^{2} = (a - v_{1} t)^{2} + (b - v_{2} t )^{2} - 2(a - v_{1} t ) (b - v_{2} t ) \cos \alpha$.
Условие минимума: $\frac{d}{dt} l^{2} = 0$, т.е.,
$2(a - v_{1} t )( - v_{1}) + 2(b - v_{2} t)( - v_{2}) - 2 ( - v_{1} )( b - v_{2} t ) \cos \alpha - 2 (a - v_{1} t) ( - v_{2}) \cos \alpha = 0$.
Решая это уравнение, получаем:
$t = \frac{av_{1} + bv_{2} - (av_{2} + bv_{1}) \cos \alpha}{ v_{1}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha + v_{2}^{2}}$.
Для определения кратчайшего расстояния целесообразно перейти в систему отсчета, связанную с одним из катеров, например, с первым. Искомое расстояние будет $|A_{0} Д| = h$.
Из $\Delta А_{0}ДВ_{0}$: $h^{2} = |A_{0}B_{0}|^{2} - v^{2}t^{2}$.
Из треугольника скоростей находим:
$v^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha$.
Из : $\Delta A_{0}CB_{0}: |A_{0}B_{0}|^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cos \alpha$.
Получаем:
$h^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cos \alpha - \frac{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha)(av_{1} + bv_{2} - (av_{2} + bv_{1}) \cos \alpha)^{2}}{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha)^{2}} = \frac{(av_{2} - bv_{1})^{2} \sin^{2} \alpha}{v_{1}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha + v_{2}^{2}}$.
Тогда $h = \frac{ |av_{2} - bv_{1}| \sin \alpha}{ \sqrt{v_{1}^{2} - 2v_{1}v_{2} \cos \alpha + v_{2}^{2}}}$.
При
$v_{1} = v_{2} = U: t = \frac{a+b}{2U}$, если $\alpha \neq 0$ (т.к. при $\alpha = 0, l = | b - a| = const$) и $l_{min} = h = |a - b| \cos \frac{ \alpha}{2}$.
