2014-06-01
Тонкий обод массой $m$ и радиуса $r$ скатывается с наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, наматывая при этом на себя тонкую ленту, линейная плотность которой равна $\rho$(рис.). В начальный момент обод находится на высоте $h$ над горизонтальной поверхностью.
Определите, на каком расстоянии $s$ от основания наклонной плоскости обод остановится. Считать переход от наклонной плоскости к горизонтальной поверхности плавным.
Решение:
Потенциальная энергия системы в начальный момент складывается из потенциальной энергии обода, равной $mg(r+h)$, и потенциальной энергии части ленты, лежащей на наклонной плоскости, $\rho gh^{2} / (2 \sin \alpha)$. Полная конечная энергия системы также будет чисто потенциальной и равной ввиду отсутствия трения начальной энергии. Конечная энергия складывается из энергии обода $mgr$ и энергии намотавшейся на него ленты. Центр масс последней будем считать совпадающим с центром масс обода. Это предположение верно, если длина намотавшейся лепты много больше длины окружности обода. Тогда потенциальная энергия намотавшейся ленты есть
$\rho (h/ \sin \alpha + s) gr$,
причем длина ленты равна $h/ \sin \alpha + s$, где $s$ - искомое расстояние, пройденное ободом от основания наклонной плоскости до точки остановки.
Из закона сохранения энергии получаем
$mg(r+h)+ \rho g \frac{h^{2}}{2 \sin \alpha} = mgr + \rho g r \left ( \frac{h}{\sin \alpha}+s \right )$;
отсюда
$s = \frac{mg + \rho (h/ \sin \alpha)(r – h/2)}{\rho r}$.