Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5588
2017-12-05 
В школьном учебнике по физике написано: "Среднее время жизни ($\tau$) - это просто среднее арифметическое времени жизни достаточно большого количества атомов данного сорта. Оно прямо пропорционально периоду полураспада ($T$). Можно показать, что $\tau = T/0,7$. Не могли бы вы уточнить эту формулу?
Решение:
В момент $t$ за время $dt$ количество атомов:
$N = 2^{ - \frac{t}{T} } N_{0}$
увеличилось на:
$dN = - \frac{dt}{T} ln 2 \cdot 2^{ - \frac{-t}{T} } N_{0}$. (1)
Значит эти $dN$ атомов прожили время точно $t$ при $dt \rightarrow 0$.
Аналогичное можно сказать и о других атомах. Тогда по формуле среднего арифметического, среднее время жизни по (1):
$\tau = \frac{ \int_{0}^{ \infty} tdN }{ N_{0} } = \frac{N_{0} \frac{ln 2}{T} \int_{0}^{ \infty} t \cdot 2^{ - \frac{t}{T} } dt }{N_{0} } = \frac{ln 2}{T} \left ( - \frac{T}{ln2} \right ) \int_{0}^{ \infty} t d \left ( 2^{ - \frac{-t}{T} } \right ) = \int_{0}^{ \infty} 2^{ - \frac{t}{T} } dt - t \cdot 2^{ - \frac{t}{T} } \left . \right |_{0}^{ \infty} = - \frac{T}{ln2} 2^{ - \frac{t}{T} } \left . \right |_{0}^{ \infty} = \frac{T}{ln2}$.
Ответ: $ \tau = \frac{T}{ln2}$.
В школьном учебнике по физике написано: "Среднее время жизни ($\tau$) - это просто среднее арифметическое времени жизни достаточно большого количества атомов данного сорта. Оно прямо пропорционально периоду полураспада ($T$). Можно показать, что $\tau = T/0,7$. Не могли бы вы уточнить эту формулу?
Решение:
В момент $t$ за время $dt$ количество атомов:
$N = 2^{ - \frac{t}{T} } N_{0}$
увеличилось на:
$dN = - \frac{dt}{T} ln 2 \cdot 2^{ - \frac{-t}{T} } N_{0}$. (1)
Значит эти $dN$ атомов прожили время точно $t$ при $dt \rightarrow 0$.
Аналогичное можно сказать и о других атомах. Тогда по формуле среднего арифметического, среднее время жизни по (1):
$\tau = \frac{ \int_{0}^{ \infty} tdN }{ N_{0} } = \frac{N_{0} \frac{ln 2}{T} \int_{0}^{ \infty} t \cdot 2^{ - \frac{t}{T} } dt }{N_{0} } = \frac{ln 2}{T} \left ( - \frac{T}{ln2} \right ) \int_{0}^{ \infty} t d \left ( 2^{ - \frac{-t}{T} } \right ) = \int_{0}^{ \infty} 2^{ - \frac{t}{T} } dt - t \cdot 2^{ - \frac{t}{T} } \left . \right |_{0}^{ \infty} = - \frac{T}{ln2} 2^{ - \frac{t}{T} } \left . \right |_{0}^{ \infty} = \frac{T}{ln2}$.
Ответ: $ \tau = \frac{T}{ln2}$.
