Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5583
2017-12-05 
Представим, что вокруг некоторой звезды по круговой орбите обращается планета, лишенная атмосферы, причем (см. рис.) $R = 0,6l, r = 0,1l$. На каких широтах $\phi$ происходит смена дня и ночи? Чему равна (в долях суток) продолжительность дня на экваторе? На широте $30^{ \circ}$? Ось вращения планеты перпендикулярна плоскости орбиты.
Решение:
Наибольшая широта, на которой происходит смена дня и ночи, равна $\phi_{1}$ (см. рис. 1). Из треугольника $O_{1}CO_{2}$:
$\cos \phi_{1} = \frac{R - r}{l}$,
откуда следует, что $\phi_{1} = arccos \frac{R-r}{l}$. Тогда $- arccos \frac{R - r}{l} < \phi < arccos \frac{R - r}{l}$, или $- 60^{ \circ} < \phi < 60^{ \circ}$.
Дуга экватора, находящаяся на освещенной части равна 2 ЕД. Дуга экватора, находящаяся на неосвещенной части равна $2 ДF = 2 \phi_{1}$. Очевидно, что
2 ЕД = $360^{ \circ}$ - 2 ДF = $360^{ \circ} - 2 \cdot 60^{ \circ} = 240^{ \circ} = \frac{2}{3} \cdot 360^{ \circ}$.
Т. о., на экваторе день длится $\frac{2}{3}$ суток ($x=0,67$).
Решение последнего вопроса сводится к нахождению $\angle AOB$, который обозначим $\alpha$ (см. рис. 2).
Из $\Delta KOB : \cos \alpha = \frac{|OK|}{|OB|}$.
$|OK| = |O_{2}L| = r \cos \angle TO_{2}F = r \cos \phi_{1}$.
Из $\Delta BOO_{2} : |OB| = |O_{2}B| \sin \angle O_{2}BO = r \sin (90^{ \circ} - \phi ) = r \cos \phi$.
Получаем: $ \cos \alpha = \frac{ \cos \phi_{1}}{ \cos \phi}$.
Тогда
$x = \frac{t_{дня}}{t_{сут}} = \frac{2 \pi - 2 \alpha}{2 \pi} = \frac{ \pi - \alpha}{ \pi} = 1 - \frac{ arccos \frac{ \cos \phi_{1}}{ \cos \phi } }{ \pi}, x = 0,7$.
$\angle O_{1}CO_{2} = 90^{ \circ}$
$\angle BOO_{2} = \angle BKO = 90^{ \circ}$
Представим, что вокруг некоторой звезды по круговой орбите обращается планета, лишенная атмосферы, причем (см. рис.) $R = 0,6l, r = 0,1l$. На каких широтах $\phi$ происходит смена дня и ночи? Чему равна (в долях суток) продолжительность дня на экваторе? На широте $30^{ \circ}$? Ось вращения планеты перпендикулярна плоскости орбиты.
Решение:
Наибольшая широта, на которой происходит смена дня и ночи, равна $\phi_{1}$ (см. рис. 1). Из треугольника $O_{1}CO_{2}$:
$\cos \phi_{1} = \frac{R - r}{l}$,
откуда следует, что $\phi_{1} = arccos \frac{R-r}{l}$. Тогда $- arccos \frac{R - r}{l} < \phi < arccos \frac{R - r}{l}$, или $- 60^{ \circ} < \phi < 60^{ \circ}$.
Дуга экватора, находящаяся на освещенной части равна 2 ЕД. Дуга экватора, находящаяся на неосвещенной части равна $2 ДF = 2 \phi_{1}$. Очевидно, что
2 ЕД = $360^{ \circ}$ - 2 ДF = $360^{ \circ} - 2 \cdot 60^{ \circ} = 240^{ \circ} = \frac{2}{3} \cdot 360^{ \circ}$.
Т. о., на экваторе день длится $\frac{2}{3}$ суток ($x=0,67$).
Решение последнего вопроса сводится к нахождению $\angle AOB$, который обозначим $\alpha$ (см. рис. 2).
Из $\Delta KOB : \cos \alpha = \frac{|OK|}{|OB|}$.
$|OK| = |O_{2}L| = r \cos \angle TO_{2}F = r \cos \phi_{1}$.
Из $\Delta BOO_{2} : |OB| = |O_{2}B| \sin \angle O_{2}BO = r \sin (90^{ \circ} - \phi ) = r \cos \phi$.
Получаем: $ \cos \alpha = \frac{ \cos \phi_{1}}{ \cos \phi}$.
Тогда
$x = \frac{t_{дня}}{t_{сут}} = \frac{2 \pi - 2 \alpha}{2 \pi} = \frac{ \pi - \alpha}{ \pi} = 1 - \frac{ arccos \frac{ \cos \phi_{1}}{ \cos \phi } }{ \pi}, x = 0,7$.
$\angle O_{1}CO_{2} = 90^{ \circ}$
$\angle BOO_{2} = \angle BKO = 90^{ \circ}$
