ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-12-05   
Сосуд без крышки, имеющий форму куба с ребром $l$, до краев наполнен водой. Сосуд приводят в движение в направлении нормали к боковой грани с очень медленно увиличивающимся ускорением. В тот момент времени, когда ускорение достигает $0,5g$, рост его прекращается, и оно в дальнейшем сохраняет это значение. В этот же момент времени в центре дна образуется небольшое отверстие сечением $S$. Сколько воды вытечет через отверстие? Сколько времени это будет длиться?


Решение:



Перейдя в собственную систему отсчета, получим, что в ней ускорение $\vec{a}$ направлено, как показано на рисунке.

И равно по модулю:

$a = \sqrt{ g^{2} + \left ( \frac{1}{2} g \right )^{2}} = \frac{ \sqrt{3}}{2} g$;

Очевидно, что до приобретения ускорения $0,5g$ вода отлилась до уровня 1-1, а после – до 2-2, так как ниже отверстия вода не пойдет. Тогда масса вылившейся через отверстие воды будет пропорциональна площади фигуры, заштрихованной на рисунке и равна:

$\begin{cases} m = \frac{S_{1} + S_{2}}{l^{2}} l^{3} \rho_{в}; \\ S_{1} = l \frac{1}{2}l = \frac{1}{2} l^{2}; \\ S_{2} = \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} l \cdot l = \frac{3}{16} l^{2}; \end{cases}$
$m = \left ( \frac{1}{2} + \frac{3}{16} \right ) l^{3} \rho_{в} = \frac{11}{16} \rho_{в} l^{3}$


Из рисунка найдем $h_{1}$ и $h_{2}$.
Из подобия треугольников $\Delta ABC$ и $\Delta ДBA$ (см. рис.): $h_{2} = (1/2) h_{1}, h_{1} = ДК = АД$ по теореме Фалеса, тогда:

$\frac{BA}{АД} = \frac{BC}{AC} = \frac{ \frac{ \sqrt{5}}{2} l}{l} = \frac{ \sqrt{5}}{2}; \Rightarrow АД = h_{1} = \frac{2}{ \sqrt{5}} AB = \frac{2}{ \sqrt{5}} \frac{1}{2} l = \frac{l}{ \sqrt{5}} = \frac{ \sqrt{5}}{5}l$; (1)
$h_{2} = \frac{1}{2} h_{1} = \frac{ \sqrt{5}}{10} l$

При переменных $h_{1}$ и $h_{2}$ приращиваемые площади $S_{1}$ и $S_{2}$ (и, соответственно, объемы воды) будут:

$BC = MP$ (2):
$dS_{1} = d (BC \cdot h_{1}) = BC \cdot dh_{1} = \frac{ \sqrt{5}}{2} l \cdot dh_{1}$;
$dS_{2} = d (ET \cdot h_{2}) = ET \cdot dh_{2} = 5 \cdot \left ( \frac{ \sqrt{5}}{20} l + h_{2} \right ) \cdot dh_{2}$;

так как $ET = \frac{BC}{h_{1}} = \left ( \frac{h_{1}}{2} + h_{2} \right ) = \frac{5}{2} \left ( \frac{ \sqrt{5}}{10} l + h_{2} \right )$
По закону сохранения энергии:

$dm \cdot ah = dm \frac{V^{2}}{2} \Rightarrow V = \sqrt{2ah} = \frac{dx}{dt}$ (3)

Приравнивая для каждого $dx$ соответствующее $dh$ по объему, имеем из (2):

$S dx = ldS_{1} = \frac{ \sqrt{5}}{2} l^{2} dh_{1}$; (4)
$S dx = ldS_{2} = 5 \cdot \left ( \frac{ \sqrt{5}}{20} l + h_{2} \right ) l \cdot dh_{2}$;

Из (3) $\Rightarrow dt = \frac{dx}{ \sqrt{2ah}}$; (5)
Тогда, из (1), (4), (5) получим:

$t = \int_{0}^{T} dt = \int_{0}^{h_{2}} \frac{l}{S} 5 \left ( \frac{ \sqrt{5}}{20} l + h_{2} \right ) \frac{1}{ \sqrt{2ah_{2}}} dh_{2} + \int_{h_{2}}^{h_{1}} \frac{ \sqrt{5}}{2} \frac{l^{2}}{2} \frac{1}{ \sqrt{2ah_{1}}} dh_{1} = 5 \frac{l}{S} \int_{0}^{ \frac{ \sqrt{5}}{10} l} \left ( \frac{ \sqrt{5}}{20} l + h \right ) \frac{1}{ \sqrt{2ah}} dh + \frac{ \sqrt{5}}{2} \frac{l^{2}}{S} \int_{ \frac{ \sqrt{5}}{10} l}^{ \frac{ \sqrt{5}}{5} l} \frac{1}{ \sqrt{2ah}} dh = \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{12} \right ) \frac{l^{2}}{S} \sqrt{ \frac{g}{l}}$.

Ответ: $m = \frac{11}{16} \rho_{в}l^{3}; t = \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{12} \right ) \frac{l^{2}}{S} \sqrt{ \frac{g}{l}}$.