2014-06-01
По шероховатой горизонтальной плоскости, переходяшей в наклонную, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, катится без проскальзывания с некоторой скоростью $v$, перпендикулярной границе раздела плоскостей, колесная пара, состоящая из двух легких колес радиуса $r$, насаженных на тонкую тяжелую ось (рис.).
Определите, при каком значении $v$ колесная пара перекатится с горизонтальной плоскости на наклонную без отрыва.
Решение:
Поскольку проскальзывания нет. то при перекатывании через границу раздела плоскостей ось колесной пары вращается вокруг точки О (рис.). В момент отрыва сила
давления колесной пары на плоскость и сила трения равны нулю, поэтому угол $\beta$, при котором происходит отрыв, находится из условия
$mg \cos \beta = mv^{2}_{1}/r$.
Из закона сохранения энергии получаем
$mv^{2}/2 = mv^{2}_{1}/2 – mgr(1 - \cos \beta)$.
Отрыва не происходит, если определяемый из этих уравнений угол $\beta$ не меньше $\alpha$ и, следовательно,
$\cos \beta \leq \cos \alpha$.
Отсюда вытекает, что условие
$v \leq \sqrt{gr(3 \cos \alpha - 2)}$
есть условие перекатывания колесной пары через границу раздела без отрыва. Если $3 \cos \alpha – 2 < 0$, т. е. $\alpha > \arccos \: (2/3)$, то отрыв произойдет при любой скорости $v$.