Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5576
2017-12-05 
Медный провод сечением $S = 2 мм^{2}$, согнутый в виде трех сторон квадрата может вращаться около оси, составляющей угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом. Провод находится в однородном магнитном поле, индукция которого $B = 0,05 Вб/м^{2}$ направлена вертикально вверх. Что произойдет, если по проводу потечет ток $I = 10 А$?.
Решение:
Считая провод твердым телом, рассмотрим явление в Декартовой системе координат XYZ. Под действием силы Ампера провод начнет поворачиваться вокруг оси X (0;0). При этом, составляющая $\vec{B}_{x}$ магнитного поля не будет влиять на движение провода, влияние $\vec{g}_{x}$ скомпенсировано еще в исходной позиции (скажем, упором, препятствующим скольжению провода вдоль начала координат (0;0)). Выходит, что провод находится в поле действия двух постоянных сил: $m \vec{g}_{y}$ и $\vec{F}_{A}$. Соответственно, потенциальная энергия провода выразится формулой:
$W_{p} = -mg_{y}a - F_{A}b$.
Выражая расстояния $a$ и $b$ через длину $l$ стороны квадрата и $\angle \beta$ отклонения от XOY, получим:
$W_{p} = - \frac{2}{3} mg_{y}l \cos \beta - F_{A} l \sin \beta$.
Очевидно, движение провода будет колебательным. Если пренебречь силами сопротивления, колебания будут совершаться между крайними положениями $\beta = 0$ и $\beta = \beta_{max}$. В этих положениях $W_{p} = max$.
$W_{p max} = W_{p0} = - \frac{2}{3} mg_{y}l$.
Это позволяет найти максимальный угол отклонения из условия:
$- \frac{2}{3} mg_{y}l \cos \beta_{max} - F_{A} l \sin \beta_{max} = - \frac{2}{3} mg_{y}l$.
Решая это уравнение, находим:
$tg \beta_{max} = \frac{2F_{A} \cdot \frac{2}{3} mg_{y}}{ \frac{4}{9} m^{2}g_{y}^{2} - F_{A}^{2}} = \frac{12F_{A} mg_{y}}{4m^{2}g_{y}^{2} - 9F_{A}^{2}}$.
$tg \beta_{max} = \frac{}{} = \frac{12IB_{y}l \rho S 3g_{y}}{4 \cdot 9^{2} \rho^{2} S^{2} l^{2} g_{y}^{2} - 9I^{2} B_{y}^{2} l^{2} } = \frac{4IB_{y} \rho Sg_{y}}{36 \rho^{2} S^{2}l^{2} g_{y}^{2} - I^{2} B_{y}^{2}}$:
$\sin \beta_{max} = \frac{2F_{A} \cdot \frac{2}{3} mg_{y}}{ \frac{4}{9} m^{2}g_{y}^{2} + F_{A}^{2}} = \frac{12F_{A} mg_{y}}{4m^{2}g_{y}^{2} + 9F_{A}^{2}}$.
Выше предполагалось, что при колебаниях провода от $\beta = 0$ до $\beta = \beta_{max}$ отсутствуют силы сопротивления, вызванные трением и явлением электромагнитной индукции. Поскольку на практике от влияния сил сопротивления освободиться нельзя, колебания, в конце концов, прекратятся, и «маятник» окажется в положении равновесия.
Угол $\beta_{равн.}$ отклонения в этом положении находим из условия минимума $W_{p}$:
$W_{p}^{ \prime} = 0 \Rightarrow \frac{2}{3} mg_{y}l \sin \beta_{равн.} - F_{A} l \cos \beta_{равн.} = 0 \Rightarrow tg \beta_{равн.} = \frac{F_{A}}{ \frac{2}{3} mg_{y}} = \frac{3F_{A}}{2mg_{y}}$
$W_{p}$ в положении равновесия:
$W_{p.равн.} = - l \sqrt{ \frac{4}{9} m^{2} g_{y}^{2} + F_{A}^{2}} = - \frac{l}{3} \sqrt{4m^{2} g_{y}^{2} + 9F_{A}^{2}}$
Кинетическая энергия при прохождении положения равновесия (при отсутствии сил сопротивления) принимает максимальное значение:
$W_{кин. max равн.} = W_{p max} - W_{p равн.} = \frac{l}{3} \left ( \sqrt{4m^{2} g_{y}^{2} + 9 F_{A}^{2}} - 2mg_{y} \right )$
Для нахождения максимальной угловой скорости провода потребуется знание длины $l$ стороны квадрата:
$W_{кин. max} = \frac{I \omega_{max}^{2}}{2} \Rightarrow \omega_{max} = \sqrt{ \frac{2 W_{кин. max}}{I}}$.
Тогда: $\omega_{max} = \sqrt{ \frac{6 \sqrt{4g_{y}^{2} + \left ( \frac{IB_{y}}{ \rho S} \right )^{2} }}{5l} - 2g_{y}}$.
Ответ: движение провода будет колебательным, максимальная угловая скорость провода равна
$\omega_{max} = \sqrt{ \frac{6 \sqrt{4g_{y}^{2} + \left ( \frac{IB_{y}}{ \rho S} \right )^{2} }}{5l} - 2g_{y}}$.
Медный провод сечением $S = 2 мм^{2}$, согнутый в виде трех сторон квадрата может вращаться около оси, составляющей угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом. Провод находится в однородном магнитном поле, индукция которого $B = 0,05 Вб/м^{2}$ направлена вертикально вверх. Что произойдет, если по проводу потечет ток $I = 10 А$?.
Решение:
Считая провод твердым телом, рассмотрим явление в Декартовой системе координат XYZ. Под действием силы Ампера провод начнет поворачиваться вокруг оси X (0;0). При этом, составляющая $\vec{B}_{x}$ магнитного поля не будет влиять на движение провода, влияние $\vec{g}_{x}$ скомпенсировано еще в исходной позиции (скажем, упором, препятствующим скольжению провода вдоль начала координат (0;0)). Выходит, что провод находится в поле действия двух постоянных сил: $m \vec{g}_{y}$ и $\vec{F}_{A}$. Соответственно, потенциальная энергия провода выразится формулой:
$W_{p} = -mg_{y}a - F_{A}b$.
Выражая расстояния $a$ и $b$ через длину $l$ стороны квадрата и $\angle \beta$ отклонения от XOY, получим:
$W_{p} = - \frac{2}{3} mg_{y}l \cos \beta - F_{A} l \sin \beta$.
Очевидно, движение провода будет колебательным. Если пренебречь силами сопротивления, колебания будут совершаться между крайними положениями $\beta = 0$ и $\beta = \beta_{max}$. В этих положениях $W_{p} = max$.
$W_{p max} = W_{p0} = - \frac{2}{3} mg_{y}l$.
Это позволяет найти максимальный угол отклонения из условия:
$- \frac{2}{3} mg_{y}l \cos \beta_{max} - F_{A} l \sin \beta_{max} = - \frac{2}{3} mg_{y}l$.
Решая это уравнение, находим:
$tg \beta_{max} = \frac{2F_{A} \cdot \frac{2}{3} mg_{y}}{ \frac{4}{9} m^{2}g_{y}^{2} - F_{A}^{2}} = \frac{12F_{A} mg_{y}}{4m^{2}g_{y}^{2} - 9F_{A}^{2}}$.
$tg \beta_{max} = \frac{}{} = \frac{12IB_{y}l \rho S 3g_{y}}{4 \cdot 9^{2} \rho^{2} S^{2} l^{2} g_{y}^{2} - 9I^{2} B_{y}^{2} l^{2} } = \frac{4IB_{y} \rho Sg_{y}}{36 \rho^{2} S^{2}l^{2} g_{y}^{2} - I^{2} B_{y}^{2}}$:
$\sin \beta_{max} = \frac{2F_{A} \cdot \frac{2}{3} mg_{y}}{ \frac{4}{9} m^{2}g_{y}^{2} + F_{A}^{2}} = \frac{12F_{A} mg_{y}}{4m^{2}g_{y}^{2} + 9F_{A}^{2}}$.
Выше предполагалось, что при колебаниях провода от $\beta = 0$ до $\beta = \beta_{max}$ отсутствуют силы сопротивления, вызванные трением и явлением электромагнитной индукции. Поскольку на практике от влияния сил сопротивления освободиться нельзя, колебания, в конце концов, прекратятся, и «маятник» окажется в положении равновесия.
Угол $\beta_{равн.}$ отклонения в этом положении находим из условия минимума $W_{p}$:
$W_{p}^{ \prime} = 0 \Rightarrow \frac{2}{3} mg_{y}l \sin \beta_{равн.} - F_{A} l \cos \beta_{равн.} = 0 \Rightarrow tg \beta_{равн.} = \frac{F_{A}}{ \frac{2}{3} mg_{y}} = \frac{3F_{A}}{2mg_{y}}$
$W_{p}$ в положении равновесия:
$W_{p.равн.} = - l \sqrt{ \frac{4}{9} m^{2} g_{y}^{2} + F_{A}^{2}} = - \frac{l}{3} \sqrt{4m^{2} g_{y}^{2} + 9F_{A}^{2}}$
Кинетическая энергия при прохождении положения равновесия (при отсутствии сил сопротивления) принимает максимальное значение:
$W_{кин. max равн.} = W_{p max} - W_{p равн.} = \frac{l}{3} \left ( \sqrt{4m^{2} g_{y}^{2} + 9 F_{A}^{2}} - 2mg_{y} \right )$
Для нахождения максимальной угловой скорости провода потребуется знание длины $l$ стороны квадрата:
$W_{кин. max} = \frac{I \omega_{max}^{2}}{2} \Rightarrow \omega_{max} = \sqrt{ \frac{2 W_{кин. max}}{I}}$.
Тогда: $\omega_{max} = \sqrt{ \frac{6 \sqrt{4g_{y}^{2} + \left ( \frac{IB_{y}}{ \rho S} \right )^{2} }}{5l} - 2g_{y}}$.
Ответ: движение провода будет колебательным, максимальная угловая скорость провода равна
$\omega_{max} = \sqrt{ \frac{6 \sqrt{4g_{y}^{2} + \left ( \frac{IB_{y}}{ \rho S} \right )^{2} }}{5l} - 2g_{y}}$.
