Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5575
2017-12-05 
С помощью термометра измеряют попеременно температуры жидкостей, налитых в два калориметра. Показания термометра: $80^{ \circ} С, 16^{ \circ} С, 78^{ \circ} С, 19^{ \circ} С$. Что покажет термометр после следующего переноса? После большого числа переносов?
Решение:
Обозначим теплоемкости 1-го калориметра за $C_{1}$, второго – $C_{2}$, термометра – $C$.
Тогда для второго и третьего переносов термометра получим:
$C(t_{3} - t_{2}) = C_{1}(t_{1} - t_{3}); \Rightarrow C_{1} =31 C$;
$C(t_{3} - t_{2}) = C_{2}(t_{4} - t_{2}); \Rightarrow C_{2} = (59/3) C$.
Сейчас термометр находится во 2-м калориметре, значит его температура равна $t_{4}$. Обозначим приращение температуры термометра $\Delta \Theta_{1}$, а понижение температуры 1-го калориметра $\Delta \Theta^{ \prime}$, тогда можно записать уравнение теплового баланса:
$C_{1} \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = C \Delta \Theta_{1}; \Rightarrow 31 \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = \Delta \Theta_{1}$;
$t_{5} = t_{3} - \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = t_{4} + \Delta \Theta_{1}$;
$\Delta \Theta_{1}^{ \prime} = t_{3} - t_{4} - \Delta \Theta_{1} = t_{3} - t_{4} - 31 \Delta \Theta_{1}^{ \prime} \Rightarrow 32 \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = t_{3} - t_{4}; \Rightarrow \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = (t_{3} - t_{4})/32$;
$\Delta \Theta_{1}^{ \prime} = 1 \frac{27}{32} (^{ \circ} С); \Rightarrow t_{5} = 78 - 1 \frac{27}{32} = 76 \frac{5}{32} ( ^{ \circ} С)$,
При втором переносе термометра обозначим приращение температуры термометра $\Delta \Theta_{2}$, а понижение температуры 2 - го калориметра $\Delta \Theta_{2}^{ \prime}$, тогда можно записать уравнение теплового баланса:
$C_{2} \Delta \Theta_{2}^{ \prime} = C \Delta \Theta_{2}; \Rightarrow (59/3) \Delta \Theta_{2}^{ \prime} = \Delta \Theta_{2}$;
$t_{6} = t_{5} - \Delta \Theta_{2} = t_{4} + \Delta \Theta_{2}^{ \prime}; \Rightarrow \Delta \Theta_{2}^{ \prime} = 2 \frac{49}{64} ^{ \circ} С$;
$t_{6} = 21 \frac{49}{64} ^{ \circ} C$,
где $t_{5}$ и $t_{6}$ - искомые показания термометров.
Пусть конечная температура всей системы $t$, тогда уравнение теплового баланса всей системы:
$C(t - t_{2}) + C_{2} (t -t_{2}) + C_{1}(t-t_{1}) =0$;
$ \left ( 1 + \frac{59}{3} \right ) (t - 19) = 31 (78 - t)$;
$t = 54 \frac{2}{5} ^{ \circ} С$.
Или, в общем виде, получаем:
$C(t_{3} - t_{2}) = C_{1} (t_{1} - t_{3} )$, (1)
$C(t_{3} - t_{4}) = C_{2} (t_{4} - t_{2} )$, (2)
$C(t_{5} - t_{4}) = C_{1} (t_{3} - t_{5} )$, (3)
$C(t_{5} - t_{6}) = C_{2} (t_{6} - t_{4} )$, (4)
Из (1) и (3) следует, что $ \frac{t_{3} - t_{2}}{t_{5} - t_{4}} = \frac{t_{1} - t_{3}}{t_{3} - t_{5}}$.
Откуда $t_{5} = \frac{(t_{1} - t_{3}) t_{4} + (t_{3} - t_{2})t_{3}}{t_{1} - t_{2}}, t_{5} = 46 \frac{5}{32} ^{ \circ} С$.
Аналогично находятся и $t_{6}$ и $t$.
Ответ: $t_{5} = 46 \frac{5}{32} ^{ \circ} С; t_{5} = 21 \frac{49}{64} ^{ \circ} С; t_{5} = 54 \frac{2}{5} ^{ \circ} С$
С помощью термометра измеряют попеременно температуры жидкостей, налитых в два калориметра. Показания термометра: $80^{ \circ} С, 16^{ \circ} С, 78^{ \circ} С, 19^{ \circ} С$. Что покажет термометр после следующего переноса? После большого числа переносов?
Решение:
Обозначим теплоемкости 1-го калориметра за $C_{1}$, второго – $C_{2}$, термометра – $C$.
Тогда для второго и третьего переносов термометра получим:
$C(t_{3} - t_{2}) = C_{1}(t_{1} - t_{3}); \Rightarrow C_{1} =31 C$;
$C(t_{3} - t_{2}) = C_{2}(t_{4} - t_{2}); \Rightarrow C_{2} = (59/3) C$.
Сейчас термометр находится во 2-м калориметре, значит его температура равна $t_{4}$. Обозначим приращение температуры термометра $\Delta \Theta_{1}$, а понижение температуры 1-го калориметра $\Delta \Theta^{ \prime}$, тогда можно записать уравнение теплового баланса:
$C_{1} \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = C \Delta \Theta_{1}; \Rightarrow 31 \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = \Delta \Theta_{1}$;
$t_{5} = t_{3} - \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = t_{4} + \Delta \Theta_{1}$;
$\Delta \Theta_{1}^{ \prime} = t_{3} - t_{4} - \Delta \Theta_{1} = t_{3} - t_{4} - 31 \Delta \Theta_{1}^{ \prime} \Rightarrow 32 \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = t_{3} - t_{4}; \Rightarrow \Delta \Theta_{1}^{ \prime} = (t_{3} - t_{4})/32$;
$\Delta \Theta_{1}^{ \prime} = 1 \frac{27}{32} (^{ \circ} С); \Rightarrow t_{5} = 78 - 1 \frac{27}{32} = 76 \frac{5}{32} ( ^{ \circ} С)$,
При втором переносе термометра обозначим приращение температуры термометра $\Delta \Theta_{2}$, а понижение температуры 2 - го калориметра $\Delta \Theta_{2}^{ \prime}$, тогда можно записать уравнение теплового баланса:
$C_{2} \Delta \Theta_{2}^{ \prime} = C \Delta \Theta_{2}; \Rightarrow (59/3) \Delta \Theta_{2}^{ \prime} = \Delta \Theta_{2}$;
$t_{6} = t_{5} - \Delta \Theta_{2} = t_{4} + \Delta \Theta_{2}^{ \prime}; \Rightarrow \Delta \Theta_{2}^{ \prime} = 2 \frac{49}{64} ^{ \circ} С$;
$t_{6} = 21 \frac{49}{64} ^{ \circ} C$,
где $t_{5}$ и $t_{6}$ - искомые показания термометров.
Пусть конечная температура всей системы $t$, тогда уравнение теплового баланса всей системы:
$C(t - t_{2}) + C_{2} (t -t_{2}) + C_{1}(t-t_{1}) =0$;
$ \left ( 1 + \frac{59}{3} \right ) (t - 19) = 31 (78 - t)$;
$t = 54 \frac{2}{5} ^{ \circ} С$.
Или, в общем виде, получаем:
$C(t_{3} - t_{2}) = C_{1} (t_{1} - t_{3} )$, (1)
$C(t_{3} - t_{4}) = C_{2} (t_{4} - t_{2} )$, (2)
$C(t_{5} - t_{4}) = C_{1} (t_{3} - t_{5} )$, (3)
$C(t_{5} - t_{6}) = C_{2} (t_{6} - t_{4} )$, (4)
Из (1) и (3) следует, что $ \frac{t_{3} - t_{2}}{t_{5} - t_{4}} = \frac{t_{1} - t_{3}}{t_{3} - t_{5}}$.
Откуда $t_{5} = \frac{(t_{1} - t_{3}) t_{4} + (t_{3} - t_{2})t_{3}}{t_{1} - t_{2}}, t_{5} = 46 \frac{5}{32} ^{ \circ} С$.
Аналогично находятся и $t_{6}$ и $t$.
Ответ: $t_{5} = 46 \frac{5}{32} ^{ \circ} С; t_{5} = 21 \frac{49}{64} ^{ \circ} С; t_{5} = 54 \frac{2}{5} ^{ \circ} С$
