2014-06-01
К оси колеса массой $m$ радиуса $r$ привязана нерастяжимая веревка, которую тянут в горизонтальном направлении в плоскости колесо. Колесо катится без подскоков по решетке, состоящей из параллельных горизонтальных прутьев, расстояние между которыми равно $l$, причем $l \ll r$.
Определите. какой должна быть средняя сила натяжения $T$ веревки, чтобы колесо двигалось в среднем с постоянной скоростью $v$? Считать массу колеса сосредоточенной в его оси.
Решение:
Пусть в некоторый момент времени колесо находится в одном из положений, когда его центр масс расположен над прутом и его скорость равна р. В момент удара о следующий прут (рис.) центр масс колеса имеет некоторую скорость $v^{\prime}$, направленную перпендикулярно линии, соединяющей его с первым прутом. Эта скорость находится из закона сохранения энергии:
$mgh + mv^{2}/2 = mv^{\prime 2}/2$.
Здесь $h = r - \sqrt{r^{2} – l^{2}/4} \approx l^{2}/(8r)$. Получаем
$v^{\prime} = v \sqrt{1 + gl^{2}/(4rv^{2})}$.
По условию задачи (движение без подскоков) удар колеса о прут абсолютно неупругий. Это означает, что при ударе гасится проекция импульса колеса на прямую, соединяющую центр колеса с прутом. Тем самым при каждом ударе происходит потеря (переход в теплоту) энергии, равной
$\Delta W = m (v^{\prime} \sin \alpha)^{2} / 2$,
где $\sin \alpha \approx l/r$. Чтобы скорость $v$ оставалась постоянной, нужно, чтобы работа силы натяжения $T$ веревки на пути $l$ компенсировала эту потерю энергии. Таким образом.
$Tl = \frac{mv^{2}}{2} \left ( 1 + \frac{gl^{2}}{4rv^{2}} \right ) \frac{l^{2}}{r^{2}}$.
Отсюда
$T = \frac{mv^{2}l}{2r^{2}} \left ( 1 + \frac{gl^{2}}{4rv^{2}} \right ) \approx \frac{mv^{2}l}{2 r^{2}}$.