ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-12-05   
На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha =30^{ \circ}$, находится брусок массы $m = 0,1 кг$. Какую минимальную силу нужно приложить к бруску, чтобы стащить его по наклонной плоскости вниз. Коэффициент трения $\mu = 0,5$.


Решение:



Распишем проекции сил, действующих на брусок, на оси X и Y:

$\begin{cases} F \sin \beta - mg \cos \alpha + N = 0; \\ F \cos \beta + mg \sin \alpha - \mu N =0; \end{cases}$

Из первого уравнения следует:

$N = mg \cos \alpha - F \sin \beta$;

Тогда второе уравнение примет вид:

$F( \cos \beta + \mu \sin \beta) = mg( \mu \cos \alpha - \sin \alpha) \Rightarrow F = mg \frac{ \mu \cos \alpha - \sin \alpha}{ \cos \beta + \mu \sin \beta}$;

Для нахождения $F_{min}$ возьмем производную:

$( \cos \beta + \mu \sin \beta)^{ \prime} = - \sin \beta + \mu \cos \beta = 0; \Rightarrow tg \beta = \mu$;

Из математики известно:

$\cos \beta = \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \beta}} ; \sin \beta = \frac{tg \beta}{ \sqrt{1 + tg^{2} \beta}}l$;

Но $tg \beta = \mu \Rightarrow \cos \beta = \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}; \sin \beta = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$;

Тогда:

$F_{min} = mg \frac{ \mu \cos \alpha - \sin \alpha}{ \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}} + \frac{ \mu^{2}}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}} = mg \frac{ \mu \cos \alpha - \sin \alpha}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$;
$F_{min} = \frac{0,5 \cdot \sqrt{3} - 1}{ \sqrt{5}} Н$