2014-06-01
Длинная гладкая цилиндрическая труба радиуса $r$ наклонена под углом $\alpha$ к горизонту (рис.). Из точки А по внутренней поверхности трубы пускают вверх небольшое тело, направление начальной скорости которого составляет угол $\phi$ с прямой АВ.
Определите минимальную начальную скорость $v_{0}$, при которой тело начнет двигаться вверх без отрыва от поверхности трубы.
Решение:
рис.1
рис.2
Сложное движение тела внутри грубы в любой момент времени можно представить как суперпозицию двух независимых движений - движения вдоль оси трубы и движения по окружности в плоскости, перпендикулярной оси трубы (рис. 1). Отрыв тела от поверхности трубы скажется только на втором движении - тело не будет двигаться по окружности. Полому мы рассмотрим только это движение.
На тело, движущееся по окружности, действует сила $N$ нормальной реакции со стороны стенок трубы (вектор $\bar{N}$ лежит в плоскости, перпендикулярной оси трубы) и «сила тяжести» $mg^{\prime} = mg \cos \alpha$. Напишем условие движения тела по окружности:
$mg^{\prime} \cos \beta + N = mv^{2}/r$, (1)
где $\beta$ - угол, который составляет радиус-вектор той точки окружности, в которой в данный момент находятся тело, с «вертикалью» у (рис. 2). Чтобы тело не отрывалось от поверхности трубы, должно выполняться условие $N=mv^{2}/r – mg^{\prime} \cos \beta \geq 0$, откуда следует
$v^{2} \geq g^{\prime} r \cos \beta$. (2)
Связь скорости $v$, с которой в данный момент движется тело по окружности, с начальной скоростью $v_{0}$ найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии: при любом значении угла $\beta$ должно выполняться соотношение
$mv^{2}/2 + mg^{\prime} r \cos \beta = m (v_{0} \sin \phi)^{2}/2 + mg^{\prime}r$;
отсюда
$v^{2} = v^{2}_{0} \sin^{2} \phi + 2g^{\prime}r – 2g^{\prime} r \cos \beta$. (3)
Подставив (3) в (2), найдем, при каких значениях $v_{0}$ тело не оторвется от трубы:
$v^{2}_{0} \geq 3 g^{\prime} r \cos \beta / \sin^{2} \phi – 2 g^{\prime}r/ \sin^{2} \phi$.
Поскольку этo условие должно выполняться при любом значении $\beta \in [0, 2 \pi]$, окончательно имеем
$v^{2}_{0} \geq g^{\prime} r /\sin^{2} \phi = gr \cos \alpha / \sin^{2} \phi$.