Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5541
2017-12-02 
Между гладкой табуреткой и стулом такой же высоты (горизонтально) лежит доска длины $L$ массы $M$ (масса равномерно распределена по длине). Коэффициент трения между доской и стулом $\mu$, между доской и табуреткой — 0. На табуретке сидит мышь массы $m$. Увидев кошку, мышь перебегает по доске с табуретки на стул, рассчитывая свои действия так, чтобы на стуле оказаться как можно быстрее и при этом не свалить доску, опирающуюся на самый край стула. Найдите работу $A$, совершённую мышью во время перебегания по доске. Мощность мыши не ограничена, её лапы по доске не проскальзывают.
Решение:
Мышь в каждой точке доски может двигаться с ускорением не больше некоторого (зависящего от точки), а её скорость при этом, очевидно, может быть любой. Ускорение определяется из условия, что горизонтальная сила, с которой мышь действует на доску ($F = ma$), не должна быть больше максимальной силы трения покоя доски о стул. Эта сила трения $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила реакции стула, действующая на конец доски, который на этом стуле лежит.
Пусть мышь находится на доске на расстоянии $x$ от табуретки. Чтобы доска была неподвижной (как требуется в условии задачи) необходимо, чтобы сумма моментов сил, действующих на доску, относительно конца доски, лежащего на табуретке, была равна 0.
$Mg \frac{L}{2} + mg(L - x) - NL = О$
(силу трения мыши о доску не учитываем, т. к. конец доски лежит на прямой, вдоль которой действует эта сила, поэтому момент этой силы относительно этого конца равен 0)
$NL = Mg \frac{L}{2} + mg(L - x)$
$N(x) = \frac{Mg \frac{L}{2} + mg (L-x)}{L} = \left ( - \frac{mg}{L} \right ) x + \left ( \frac{Mg}{2} + mg \right )$
Видим, что зависимость силы реакции $N$ (и, следовательно, максимальной силы трения покоя $F_{тр} = \mu N$) от положения мыши на доске — линейная.
Следовательно, мышь в каждый момент времени должна двигаться с максимально возможным ускорением. Поскольку это ускорение везде положительно (мышь нигде не тормозила), а доска горизонтальна, совершённая мышью работа равна кинетической энергии (когда мышь находилась в конце доски, в начале скорость мыши по условию была равна 0).
Построим график зависимости ускорения от координаты. Поскольку эта зависимость линейная, площадь под графиком $S$ легко найти школьными методами. Из известной формулы $2aх = v^{2} - v_{0}^{2}$ (или $ax = \frac{v^{2}}{2} - \frac{v_{0}^{2}}{2}$) следует, что эта площадь равна изменению половины квадрата скорости за время движения, то есть (так как у нас $v_{0} = 0$) это просто $\frac{v^{2}}{2}$.
Работа мыши, которую нужно найти, $A = mv^{2}/2 = mS$.
$F_{max} (0) = \mu \frac{M}{2}g ; F_{max} (L) = \mu \left ( \frac{M}{2} + m \right )g$.
$a_{max} (0) = \frac{1}{m} F_{max} (0) = \frac{1}{m} \mu \frac{M}{2} g; a_{max} (0) = \frac{1}{m} F_{max} (L) = \frac{1}{m} \mu \left ( \frac{M}{2} + m \right )g$.
$S = L \frac{a_{max} (0) + a_{max}(L)}{2} = \frac{L}{2m} \mu g \left ( \frac{M}{2} + \frac{M}{2} + m \right ) = L \mu g \frac{M+m}{2m}$.
Ответ: $A = mS = mL \mu g \frac{M + m}{2m} = \frac{1}{2} \mu (M + m)gL$.
Примечание. На первый взгляд может показаться, что при решении этой задачи проще воспользоваться формулой
работа = сила * перемещение.
Однако для обоснования минимальности времени нам всё равно придётся искать ускорение, а когда мы его уже нашли — довести решение до конца оказывается проще приведённым выше способом.
Между гладкой табуреткой и стулом такой же высоты (горизонтально) лежит доска длины $L$ массы $M$ (масса равномерно распределена по длине). Коэффициент трения между доской и стулом $\mu$, между доской и табуреткой — 0. На табуретке сидит мышь массы $m$. Увидев кошку, мышь перебегает по доске с табуретки на стул, рассчитывая свои действия так, чтобы на стуле оказаться как можно быстрее и при этом не свалить доску, опирающуюся на самый край стула. Найдите работу $A$, совершённую мышью во время перебегания по доске. Мощность мыши не ограничена, её лапы по доске не проскальзывают.
Решение:
Мышь в каждой точке доски может двигаться с ускорением не больше некоторого (зависящего от точки), а её скорость при этом, очевидно, может быть любой. Ускорение определяется из условия, что горизонтальная сила, с которой мышь действует на доску ($F = ma$), не должна быть больше максимальной силы трения покоя доски о стул. Эта сила трения $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила реакции стула, действующая на конец доски, который на этом стуле лежит.
Пусть мышь находится на доске на расстоянии $x$ от табуретки. Чтобы доска была неподвижной (как требуется в условии задачи) необходимо, чтобы сумма моментов сил, действующих на доску, относительно конца доски, лежащего на табуретке, была равна 0.
$Mg \frac{L}{2} + mg(L - x) - NL = О$
(силу трения мыши о доску не учитываем, т. к. конец доски лежит на прямой, вдоль которой действует эта сила, поэтому момент этой силы относительно этого конца равен 0)
$NL = Mg \frac{L}{2} + mg(L - x)$
$N(x) = \frac{Mg \frac{L}{2} + mg (L-x)}{L} = \left ( - \frac{mg}{L} \right ) x + \left ( \frac{Mg}{2} + mg \right )$
Видим, что зависимость силы реакции $N$ (и, следовательно, максимальной силы трения покоя $F_{тр} = \mu N$) от положения мыши на доске — линейная.
Следовательно, мышь в каждый момент времени должна двигаться с максимально возможным ускорением. Поскольку это ускорение везде положительно (мышь нигде не тормозила), а доска горизонтальна, совершённая мышью работа равна кинетической энергии (когда мышь находилась в конце доски, в начале скорость мыши по условию была равна 0).
Построим график зависимости ускорения от координаты. Поскольку эта зависимость линейная, площадь под графиком $S$ легко найти школьными методами. Из известной формулы $2aх = v^{2} - v_{0}^{2}$ (или $ax = \frac{v^{2}}{2} - \frac{v_{0}^{2}}{2}$) следует, что эта площадь равна изменению половины квадрата скорости за время движения, то есть (так как у нас $v_{0} = 0$) это просто $\frac{v^{2}}{2}$.
Работа мыши, которую нужно найти, $A = mv^{2}/2 = mS$.
$F_{max} (0) = \mu \frac{M}{2}g ; F_{max} (L) = \mu \left ( \frac{M}{2} + m \right )g$.
$a_{max} (0) = \frac{1}{m} F_{max} (0) = \frac{1}{m} \mu \frac{M}{2} g; a_{max} (0) = \frac{1}{m} F_{max} (L) = \frac{1}{m} \mu \left ( \frac{M}{2} + m \right )g$.
$S = L \frac{a_{max} (0) + a_{max}(L)}{2} = \frac{L}{2m} \mu g \left ( \frac{M}{2} + \frac{M}{2} + m \right ) = L \mu g \frac{M+m}{2m}$.
Ответ: $A = mS = mL \mu g \frac{M + m}{2m} = \frac{1}{2} \mu (M + m)gL$.
Примечание. На первый взгляд может показаться, что при решении этой задачи проще воспользоваться формулой
работа = сила * перемещение.
Однако для обоснования минимальности времени нам всё равно придётся искать ускорение, а когда мы его уже нашли — довести решение до конца оказывается проще приведённым выше способом.
