Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 554
2014-06-01 
Покажите, что максимальная скорость, которую при столкновении может сообщить протону $\alpha$-частица, составляет 1.6 ее начальной скорости.
Решение:
Пусть вначале относительно неподвижной системы отсчета прогон покоится, а $\alpha$ - частица имеет скорость $v_{0}$. Процесс их упругого соударения описывается законом сохранения импульса:
$4mv_{0} = mv_{1} + 4mv_{2}$,
и законом сохранения энергии:
$4mv^{2}_{0}/2 = mv^{2}_{1}/2 +4mv^{2}_{2}/2$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости протона и $\alpha$ - частицы в неподвижной системе отсчета после соударения, $m$ и $4m$ - массы протона и $\alpha$-частицы.
Рассмотрим процесс соударения :»тих частиц в системе центра масс, т. е. в инерциальной системе отсчета, движущейся относительно неподвижной системы отсчета со скоростью
$v^{\prime}= 4mv_{0}/(m+4m)=(4/5)v_{0}$
(в числителе первой дроби стоит полный импульс системы, в знаменателе - ее полная масса). На рис. изображены скорость $v_{0}$ и скорости $\alpha$-частицы (вектор $\bar{OB}$) и протона (вектор $\bar{OA}$) в системе центра масс до соударения: $OB = (1/5)v_{0}, OA =(4/5)v_{0}$. Согласно закону сохранения импульса, после соударения векторы $\bar{OB}$ и $\bar{OA}$ скоростей $\alpha$-частицы и протона должны лежать на одной прямой и должно выполняться соотношение $OB^{\prime}: OA^{\prime} =1:4$ (см. рис.); согласно закону сохранения энергии $OB^{\prime}=OB$ и $OA^{\prime} = OA$(покажите!).
Скорости $\alpha$-частицы и протона в неподвижной системе отсчета изображены на рисунке векторами $\bar{OC_{2}} = \bar{OB^{\prime}} + v^{\prime}$ и $\bar{OC_{1}} = \bar{OA^{\prime}} + v^{\prime}$.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно определить максимально возможную длину вектора $\bar{OC_{1}}$, т.е. равнобедренном треугольнике $OA^{\prime}C_{1}$ необходимо определить максимально возможную длину основания при неизменных длинах боковых сторон. Очевидно, что максимум $\bar{OC_{1}}$ равен $2 \cdot (4/5) v_{0} = 1,6 v_{0}$. Эта ситуация отвечает центральному удару.
Покажите, что максимальная скорость, которую при столкновении может сообщить протону $\alpha$-частица, составляет 1.6 ее начальной скорости.
Решение:
Пусть вначале относительно неподвижной системы отсчета прогон покоится, а $\alpha$ - частица имеет скорость $v_{0}$. Процесс их упругого соударения описывается законом сохранения импульса:
$4mv_{0} = mv_{1} + 4mv_{2}$,
и законом сохранения энергии:
$4mv^{2}_{0}/2 = mv^{2}_{1}/2 +4mv^{2}_{2}/2$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости протона и $\alpha$ - частицы в неподвижной системе отсчета после соударения, $m$ и $4m$ - массы протона и $\alpha$-частицы.
Рассмотрим процесс соударения :»тих частиц в системе центра масс, т. е. в инерциальной системе отсчета, движущейся относительно неподвижной системы отсчета со скоростью
$v^{\prime}= 4mv_{0}/(m+4m)=(4/5)v_{0}$
(в числителе первой дроби стоит полный импульс системы, в знаменателе - ее полная масса). На рис. изображены скорость $v_{0}$ и скорости $\alpha$-частицы (вектор $\bar{OB}$) и протона (вектор $\bar{OA}$) в системе центра масс до соударения: $OB = (1/5)v_{0}, OA =(4/5)v_{0}$. Согласно закону сохранения импульса, после соударения векторы $\bar{OB}$ и $\bar{OA}$ скоростей $\alpha$-частицы и протона должны лежать на одной прямой и должно выполняться соотношение $OB^{\prime}: OA^{\prime} =1:4$ (см. рис.); согласно закону сохранения энергии $OB^{\prime}=OB$ и $OA^{\prime} = OA$(покажите!).
Скорости $\alpha$-частицы и протона в неподвижной системе отсчета изображены на рисунке векторами $\bar{OC_{2}} = \bar{OB^{\prime}} + v^{\prime}$ и $\bar{OC_{1}} = \bar{OA^{\prime}} + v^{\prime}$.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно определить максимально возможную длину вектора $\bar{OC_{1}}$, т.е. равнобедренном треугольнике $OA^{\prime}C_{1}$ необходимо определить максимально возможную длину основания при неизменных длинах боковых сторон. Очевидно, что максимум $\bar{OC_{1}}$ равен $2 \cdot (4/5) v_{0} = 1,6 v_{0}$. Эта ситуация отвечает центральному удару.
