Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5530
2017-12-02 
Подъёмный кран поднимает трубу. Какой участок троса (А или Б — см. рисунок) натянут сильнее и почему?
Решение:
Ответ: А. Решение. Оставшийся необозначенным участок троса вертикален (так как сила его натяжения уравновешивается вертикально направленной силой тяжести, действующей на трубу), поэтому обозначим его буквой В. Также очевидно, что «продолжение» троса В проходит через центр масс трубы (совпадающий с её геометрическим центром, т. к. разумно предположить, что труба однородная; обозначим этот центр буквой O).
Чтобы дальше не запутаться, тот конец трубы, к которому привязан трос А, так и обозначим буквой А, второй конец, разумеется, буквой Б, а Y-образное место соединения трёх тросов —этой буквой Y.
Оказывается, в рассматриваемой ситуации при любом угле наклона трубы (кроме случаев, когда она горизонтальна или вертикальна) $\angle OYA$ всегда меньше $\angle OYБ$ — это мы докажем в последнем абзаце решения из чисто геометрических соображений.
Горизонтальные проекции сил натяжений тросов А и Б должны быть равными по модулю (больше никаких сил в горизонтальном направлении на трубу не действует, поэтому эти должны друг друга уравновешивать).
Трос А «более вертикален», чем Б (для образуемых им углов с вертикалью верно равенство $\angle OYA < \angle OYБ$, которое мы упомянули выше и докажем ниже), следовательно, чтобы ему иметь такую же, как у Б, горизонтальную проекцию силы натяжения, он должен быть натянут сильнее, чем Б.
Теперь окончательно разберёмся с углами, например так. Почти очевидно, что $YA > YБ$:
$YA = \sqrt{ YO^{2} + AO^{2} - 2 \cdot YO \cdot AO \cos \angle YOA}$;
$YA = \sqrt{ YO^{2} + БO^{2} - 2 \cdot YO \cdot БO \cos \angle YOБ}$;
$AO = БO$
косинус тупого угла $\angle YOA$, разумеется, меньше косинуса острого угла $\angle YO Б$. Треугольники $\Delta AOY$ и $\Delta БOY$ имеют равные площади (у них общее основание OY и равные боковые стороны OA = OБ, наклонённые к основанию под равными углами (хотя и в разные стороны), то есть высоты этих треугольников также равны). С другой стороны эти площади можно выразить через интересующие нас углы:
$S = \frac{1}{2} \cdot OY \cdot YA \cdot \sin \angle OYA = \frac{1}{2} \cdot OY \cdot YБ \cdot \sin \angle OY Б$.
Так как YA > YБ, то для выполнения равенства необходимо выполнение условия $\sin \angle OYA < \sin \angle OYБ$. Если эти углы острые (что соответствует рисунку), то отсюда немедленно следует $\angle OYA < \angle OYБ$, если $\angle OYБ$ тупой, а $\angle OYA$ — острый (то есть точка Y находится ниже точки B), то это тоже очевидно (острый угол меньше тупого); случай тупого угла $\angle OYA$ физически нереализуем (формально в этом случае силы натяжения тросов А и Б будут отрицательными).
Подъёмный кран поднимает трубу. Какой участок троса (А или Б — см. рисунок) натянут сильнее и почему?
Решение:
Ответ: А. Решение. Оставшийся необозначенным участок троса вертикален (так как сила его натяжения уравновешивается вертикально направленной силой тяжести, действующей на трубу), поэтому обозначим его буквой В. Также очевидно, что «продолжение» троса В проходит через центр масс трубы (совпадающий с её геометрическим центром, т. к. разумно предположить, что труба однородная; обозначим этот центр буквой O).
Чтобы дальше не запутаться, тот конец трубы, к которому привязан трос А, так и обозначим буквой А, второй конец, разумеется, буквой Б, а Y-образное место соединения трёх тросов —этой буквой Y.
Оказывается, в рассматриваемой ситуации при любом угле наклона трубы (кроме случаев, когда она горизонтальна или вертикальна) $\angle OYA$ всегда меньше $\angle OYБ$ — это мы докажем в последнем абзаце решения из чисто геометрических соображений.
Горизонтальные проекции сил натяжений тросов А и Б должны быть равными по модулю (больше никаких сил в горизонтальном направлении на трубу не действует, поэтому эти должны друг друга уравновешивать).
Трос А «более вертикален», чем Б (для образуемых им углов с вертикалью верно равенство $\angle OYA < \angle OYБ$, которое мы упомянули выше и докажем ниже), следовательно, чтобы ему иметь такую же, как у Б, горизонтальную проекцию силы натяжения, он должен быть натянут сильнее, чем Б.
Теперь окончательно разберёмся с углами, например так. Почти очевидно, что $YA > YБ$:
$YA = \sqrt{ YO^{2} + AO^{2} - 2 \cdot YO \cdot AO \cos \angle YOA}$;
$YA = \sqrt{ YO^{2} + БO^{2} - 2 \cdot YO \cdot БO \cos \angle YOБ}$;
$AO = БO$
косинус тупого угла $\angle YOA$, разумеется, меньше косинуса острого угла $\angle YO Б$. Треугольники $\Delta AOY$ и $\Delta БOY$ имеют равные площади (у них общее основание OY и равные боковые стороны OA = OБ, наклонённые к основанию под равными углами (хотя и в разные стороны), то есть высоты этих треугольников также равны). С другой стороны эти площади можно выразить через интересующие нас углы:
$S = \frac{1}{2} \cdot OY \cdot YA \cdot \sin \angle OYA = \frac{1}{2} \cdot OY \cdot YБ \cdot \sin \angle OY Б$.
Так как YA > YБ, то для выполнения равенства необходимо выполнение условия $\sin \angle OYA < \sin \angle OYБ$. Если эти углы острые (что соответствует рисунку), то отсюда немедленно следует $\angle OYA < \angle OYБ$, если $\angle OYБ$ тупой, а $\angle OYA$ — острый (то есть точка Y находится ниже точки B), то это тоже очевидно (острый угол меньше тупого); случай тупого угла $\angle OYA$ физически нереализуем (формально в этом случае силы натяжения тросов А и Б будут отрицательными).
