Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5524
2017-12-02 
Конец бревна привязали верёвкой длины $h$ к якорю и эту конструкцию бросили в водоём. Построить график (или хотя бы эскиз графика) зависимости силы натяжения верёвки от уровня воды в водоёме. Плотность бревна $\rho$ меньше плотности воды $\rho_{0}$, длина бревна $L$, масса $M$. Верёвку можно считать нерастяжимой, тонкой и невесомой.
Решение:
Уровень воды в водоёме будем обозначать буквой $H$, силу натяжения верёвки — $F$.
Два участка графика строятся совсем просто. Если глубина меньше длины верёвки ($H < h$), то бревно будет свободно плавать на поверхности воды, верёвка при этом не натягивается ($F = 0$)
Если глубина больше суммы длин верёвки и бревна $(H > h + L)$, то бревно, очевидно, будет полностью находиться под водой. В этом случае на бревно действует сила Архимеда $F_{арх} = \rho g V_{ бревна} = \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg$, которая уравновешивается силой тяжести $Mg$ и силой натяжения верёвки $F$, то есть
$F + Mg = \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg$
и
$F = F_{арх} - Mg = \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg = \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right ) Mg$.
Теперь разберём промежуточный случай $h < H < h + L$. Возможное положение бревна в таком случае показано на рисунке
(вертикальность положения нити очевидна —у силы тяжести и силы Архимеда, действующих на бревно, нет горизонтальных составляющих, следовательно, эти силы не могут скомпенсировать горизонтальной составляющей силы натяжения наклонной нити; условия устойчивости равновесия бревна в вертикальном и наклонном положении в основном будут понятны из дальнейшего решения, для простоты формально мы их определять не будем).
Пусть $x$ — длина погруженной в воду части бревна, $\alpha$ — угол наклона бревна (угол между бревном и горизонталью). Сила Архимеда действует только на погруженную в воду часть бревна и она в $\frac{x}{L}$ раз «больше» (меньше) силы Архимеда, действующей на всё бревно, то есть равна $\frac{x}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg$.
Чтобы бревно не вращалось в вертикальной плоскости вокруг конца, к которому привязана верёвка, необходимо равенство компенсирующих друг друга моментов силы тяжести и силы Архимеда относительно этого конца (других сил, действующих на бревно и имеющих ненулевые моменты относительно этой точки, нет).
$Mg \frac{L}{2} \cos \alpha = \frac{x}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg \frac{x}{2} \cos \alpha$
Сократим полученное уравнение (уравнение моментов) на очевидно не равное 0 выражение $\frac{Mg}{2}$, получится
$L \cos \alpha = \frac{x}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} x \cos \alpha$
или
$L^{2} \cos \alpha = x^{2} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \cos \alpha$
Это условие может выполняться только или если $\cos \alpha = 0$ (то есть $\alpha = 90^{ \circ}$ — бревно находится в вертикальном положении и под водой может находится любая его часть), или
$x = \sqrt { \frac{ \rho}{ \rho_{0}}} L$
(угол $\alpha$ при этом может быть любым $< 90^{ \circ}$, длина погруженной части бревна, как оказалось, не зависит от угла наклона).
В случае $\alpha < 90^{ \circ}$ сила Архимеда, действующая на бревно (погруженный в воду участок бревна), равна
$\frac{x}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg = \frac{ \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0}}} L}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg = \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0}}} \frac{ \rho}{ \rho_{0}} Mg = \sqrt{ \frac{ \rho_{0}}{ \rho}} Mg$,
а сила натяжения верёвки (в этом случае), соответственно, разности силы Архимеда и силы тяжести
$F = \sqrt{ \frac{ \rho_{0}}{ \rho}} Mg - Mg = \left ( \sqrt{ \frac{ \rho_{0}}{ \rho}} - 1 \right ) Mg$
Теперь понятно, что после того, как уровень воды превысит значение $h + \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0}}} L$, бревно примет вертикальное положение (любое другое положение противоречит уравнению моментов) и при дальнейшем увеличении уровня воды сила Архимеда и, следовательно, сила натяжения верёвки будут линейно возрастать до тех пор, пока бревно полностью не погрузится под воду; после этого силы меняться перестанут. Формулу для этой линейной зависимости можно легко получить, но, поскольку в условии задачи требуется только построить график, мы просто соединим две соответствующие точки на графике прямой линией.
Окончательный график получается таким:
Конец бревна привязали верёвкой длины $h$ к якорю и эту конструкцию бросили в водоём. Построить график (или хотя бы эскиз графика) зависимости силы натяжения верёвки от уровня воды в водоёме. Плотность бревна $\rho$ меньше плотности воды $\rho_{0}$, длина бревна $L$, масса $M$. Верёвку можно считать нерастяжимой, тонкой и невесомой.
Решение:
Уровень воды в водоёме будем обозначать буквой $H$, силу натяжения верёвки — $F$.
Два участка графика строятся совсем просто. Если глубина меньше длины верёвки ($H < h$), то бревно будет свободно плавать на поверхности воды, верёвка при этом не натягивается ($F = 0$)
Если глубина больше суммы длин верёвки и бревна $(H > h + L)$, то бревно, очевидно, будет полностью находиться под водой. В этом случае на бревно действует сила Архимеда $F_{арх} = \rho g V_{ бревна} = \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg$, которая уравновешивается силой тяжести $Mg$ и силой натяжения верёвки $F$, то есть
$F + Mg = \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg$
и
$F = F_{арх} - Mg = \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg = \left ( \frac{ \rho_{0}}{ \rho} - 1 \right ) Mg$.
Теперь разберём промежуточный случай $h < H < h + L$. Возможное положение бревна в таком случае показано на рисунке
(вертикальность положения нити очевидна —у силы тяжести и силы Архимеда, действующих на бревно, нет горизонтальных составляющих, следовательно, эти силы не могут скомпенсировать горизонтальной составляющей силы натяжения наклонной нити; условия устойчивости равновесия бревна в вертикальном и наклонном положении в основном будут понятны из дальнейшего решения, для простоты формально мы их определять не будем).
Пусть $x$ — длина погруженной в воду части бревна, $\alpha$ — угол наклона бревна (угол между бревном и горизонталью). Сила Архимеда действует только на погруженную в воду часть бревна и она в $\frac{x}{L}$ раз «больше» (меньше) силы Архимеда, действующей на всё бревно, то есть равна $\frac{x}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg$.
Чтобы бревно не вращалось в вертикальной плоскости вокруг конца, к которому привязана верёвка, необходимо равенство компенсирующих друг друга моментов силы тяжести и силы Архимеда относительно этого конца (других сил, действующих на бревно и имеющих ненулевые моменты относительно этой точки, нет).
$Mg \frac{L}{2} \cos \alpha = \frac{x}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg \frac{x}{2} \cos \alpha$
Сократим полученное уравнение (уравнение моментов) на очевидно не равное 0 выражение $\frac{Mg}{2}$, получится
$L \cos \alpha = \frac{x}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} x \cos \alpha$
или
$L^{2} \cos \alpha = x^{2} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \cos \alpha$
Это условие может выполняться только или если $\cos \alpha = 0$ (то есть $\alpha = 90^{ \circ}$ — бревно находится в вертикальном положении и под водой может находится любая его часть), или
$x = \sqrt { \frac{ \rho}{ \rho_{0}}} L$
(угол $\alpha$ при этом может быть любым $< 90^{ \circ}$, длина погруженной части бревна, как оказалось, не зависит от угла наклона).
В случае $\alpha < 90^{ \circ}$ сила Архимеда, действующая на бревно (погруженный в воду участок бревна), равна
$\frac{x}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg = \frac{ \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0}}} L}{L} \frac{ \rho_{0}}{ \rho} Mg = \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0}}} \frac{ \rho}{ \rho_{0}} Mg = \sqrt{ \frac{ \rho_{0}}{ \rho}} Mg$,
а сила натяжения верёвки (в этом случае), соответственно, разности силы Архимеда и силы тяжести
$F = \sqrt{ \frac{ \rho_{0}}{ \rho}} Mg - Mg = \left ( \sqrt{ \frac{ \rho_{0}}{ \rho}} - 1 \right ) Mg$
Теперь понятно, что после того, как уровень воды превысит значение $h + \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0}}} L$, бревно примет вертикальное положение (любое другое положение противоречит уравнению моментов) и при дальнейшем увеличении уровня воды сила Архимеда и, следовательно, сила натяжения верёвки будут линейно возрастать до тех пор, пока бревно полностью не погрузится под воду; после этого силы меняться перестанут. Формулу для этой линейной зависимости можно легко получить, но, поскольку в условии задачи требуется только построить график, мы просто соединим две соответствующие точки на графике прямой линией.
Окончательный график получается таким:
