Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5521
2017-12-02 
Найти сопротивление между точками A и B бесконечной цепочки резисторов (сопротивление каждого резистора $R$).
Решение:
Ответ: $\sqrt{2} R$.
Наиболее простой способ решения подобных задач с бесконечными цепочками — обозначить как-нибудь (например, $R_{x}$) сопротивление всей цепочки. Потом «отцепить» от цепочки часть так, чтобы оставшийся бесконечный «хвост» совпадал с исходной схемой. Затем заменить хвост на резистор сопротивлением $R_{x}$ и рассчитать по обычным правилам сопротивление схемы из конечного числа резисторов (которое тоже равно $R_{x}$). Получится уравнение $R_{x} = f(R, R_{x})$, корнем (одним из корней) которого является решение задачи.
Приводим один из возможных вариантов реализации вышеописанной идеи решения для нашей задачи.
1. Обозначим сопротивление всей цепочки через $R_{x}$.
2. Оставим слева 8 резисторов, а оставшийся «хвост» (полностью совпадающий с исходной цепочкой) заменяем на резистор сопротивлением $R_{x}$.
3. Немного перерисуем схему, для удобства обозначим буквами C и D соединения в центральной части схемы.
По проводу между точками C и D ток не течёт, поэтому этот провод из схемы можно удалить. (Пусть в направлении CD течёт ток $I$. Поменяем на клеммах A и B полярность на противоположную — с одной стороны ток должен измениться на $- I$, с другой — остаться таким же, так как получившаяся схема оказалась такой же, как и до перемены полярности. Следовательно, $I = 0$. Другое пояснение. Получившаяся схема симметрична, и точка C, и точка D находятся на одной и той же «оси симметрии» и, следовательно, имеют одинаковые потенциалы. Если такие точки соединить проводом, ток по этому проводу не потечёт).
4. Заменяем все последовательные цепочки $- R - R$ — на — $2R$ —. Схема становится совсем простой.
5. Окончательно упрощаем схему
и сводим её к единственному резистору сопротивлением
$R_{x} = \frac{2R \left ( \frac{2R R_{x}}{2R + R_{x} } + 4R \right ) }{2R + \left ( \frac{2RR_{x} }{ 2R + R_{x} } + 4R \right ) } = \frac{2R \frac{8R^{2} + 6RR_{x} }{2R + R_{x} } }{2R + \frac{8R^{2} + 6RR_{x}}{ 2R + R_{x} } } $
(напомним простой факт, которым мы выше несколько раз воспользовались: сопротивление схемы из двух параллельно соединённых резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ равно $\frac{R_{1} R_{2} }{ R_{1} + R_{2} }$ )
6. Решаем полученное уравнение. Умножим числитель и знаменатель правой части уравнения на $(2R + R_{x})$
$R_{x} = \frac{2R (8R^{2} + 6RR_{x} ) }{2R (2R + R_{x}) + 8R^{2} + 6RR_{x} }$
Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения на $2R$
$R_{x} = \frac{8R^{2} + 6RR_{x}}{2R + R_{x} + 4R + 3 R_{x}}$
$R_{x} = \frac{8R^{2} + 6RR_{x}}{6R + 4R_{x}}$
$R_{x} = \frac{48R^{2} + 3RR_{x}}{3R + 2R_{x}}$
$R_{x} (3R + 2R_{x}) = 4R^{2} + 3RR_{x}$
$3RR_{x} + 2R_{x}^{2} = 4R^{2} + 3RR_{x}$
$2R_{x}^{2} = 4R^{2}$
$R_{x}^{2} = 2R^{2}$
$R_{x} = \pm \sqrt{2} R$
$R_{x} = \sqrt{2} R$
Если $R > 0$ (что часто подразумевается при употреблении термина «резистор»), то решение — $\sqrt{2}R$ не имеет физического смысла. Однако, бывают схемы и устройства, для которых формально выполняется закон Ома $I = U/R$, где величина $R$ не является положительным числом. Отбор «лишних» корней в этом случае усложняется.
Бесконечные цепочки интересны не только сами по себе —они являются моделями многих явлений в электротехнике (например: два проводника — цепочки из резисторов с маленьким сопротивлением, изоляция между проводниками — поперечные резисторы с «большим» сопротивлением), биофизике (например, трубчатая нервная клетка, у которой сопротивление поверхностей мембраны существенно меньше сопротивления через мембрану) и др.
Мы очень подробно расписали решение задачи главным образом для тех читателей, которые столкнулись с бесконечными цепочками резисторов впервые — чтобы дать возможность хорошо во всём разобраться. От участников турнира такого подробного и длинного решения, разумеется, не требуется.
Найти сопротивление между точками A и B бесконечной цепочки резисторов (сопротивление каждого резистора $R$).
Решение:
Ответ: $\sqrt{2} R$.
Наиболее простой способ решения подобных задач с бесконечными цепочками — обозначить как-нибудь (например, $R_{x}$) сопротивление всей цепочки. Потом «отцепить» от цепочки часть так, чтобы оставшийся бесконечный «хвост» совпадал с исходной схемой. Затем заменить хвост на резистор сопротивлением $R_{x}$ и рассчитать по обычным правилам сопротивление схемы из конечного числа резисторов (которое тоже равно $R_{x}$). Получится уравнение $R_{x} = f(R, R_{x})$, корнем (одним из корней) которого является решение задачи.
Приводим один из возможных вариантов реализации вышеописанной идеи решения для нашей задачи.
1. Обозначим сопротивление всей цепочки через $R_{x}$.
2. Оставим слева 8 резисторов, а оставшийся «хвост» (полностью совпадающий с исходной цепочкой) заменяем на резистор сопротивлением $R_{x}$.
3. Немного перерисуем схему, для удобства обозначим буквами C и D соединения в центральной части схемы.
По проводу между точками C и D ток не течёт, поэтому этот провод из схемы можно удалить. (Пусть в направлении CD течёт ток $I$. Поменяем на клеммах A и B полярность на противоположную — с одной стороны ток должен измениться на $- I$, с другой — остаться таким же, так как получившаяся схема оказалась такой же, как и до перемены полярности. Следовательно, $I = 0$. Другое пояснение. Получившаяся схема симметрична, и точка C, и точка D находятся на одной и той же «оси симметрии» и, следовательно, имеют одинаковые потенциалы. Если такие точки соединить проводом, ток по этому проводу не потечёт).
4. Заменяем все последовательные цепочки $- R - R$ — на — $2R$ —. Схема становится совсем простой.
5. Окончательно упрощаем схему
и сводим её к единственному резистору сопротивлением
$R_{x} = \frac{2R \left ( \frac{2R R_{x}}{2R + R_{x} } + 4R \right ) }{2R + \left ( \frac{2RR_{x} }{ 2R + R_{x} } + 4R \right ) } = \frac{2R \frac{8R^{2} + 6RR_{x} }{2R + R_{x} } }{2R + \frac{8R^{2} + 6RR_{x}}{ 2R + R_{x} } } $
(напомним простой факт, которым мы выше несколько раз воспользовались: сопротивление схемы из двух параллельно соединённых резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ равно $\frac{R_{1} R_{2} }{ R_{1} + R_{2} }$ )
6. Решаем полученное уравнение. Умножим числитель и знаменатель правой части уравнения на $(2R + R_{x})$
$R_{x} = \frac{2R (8R^{2} + 6RR_{x} ) }{2R (2R + R_{x}) + 8R^{2} + 6RR_{x} }$
Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения на $2R$
$R_{x} = \frac{8R^{2} + 6RR_{x}}{2R + R_{x} + 4R + 3 R_{x}}$
$R_{x} = \frac{8R^{2} + 6RR_{x}}{6R + 4R_{x}}$
$R_{x} = \frac{48R^{2} + 3RR_{x}}{3R + 2R_{x}}$
$R_{x} (3R + 2R_{x}) = 4R^{2} + 3RR_{x}$
$3RR_{x} + 2R_{x}^{2} = 4R^{2} + 3RR_{x}$
$2R_{x}^{2} = 4R^{2}$
$R_{x}^{2} = 2R^{2}$
$R_{x} = \pm \sqrt{2} R$
$R_{x} = \sqrt{2} R$
Если $R > 0$ (что часто подразумевается при употреблении термина «резистор»), то решение — $\sqrt{2}R$ не имеет физического смысла. Однако, бывают схемы и устройства, для которых формально выполняется закон Ома $I = U/R$, где величина $R$ не является положительным числом. Отбор «лишних» корней в этом случае усложняется.
Бесконечные цепочки интересны не только сами по себе —они являются моделями многих явлений в электротехнике (например: два проводника — цепочки из резисторов с маленьким сопротивлением, изоляция между проводниками — поперечные резисторы с «большим» сопротивлением), биофизике (например, трубчатая нервная клетка, у которой сопротивление поверхностей мембраны существенно меньше сопротивления через мембрану) и др.
Мы очень подробно расписали решение задачи главным образом для тех читателей, которые столкнулись с бесконечными цепочками резисторов впервые — чтобы дать возможность хорошо во всём разобраться. От участников турнира такого подробного и длинного решения, разумеется, не требуется.
