Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5516
2017-11-29 
Металлический стержень подвешен горизонтально за два конца: один конец — на пружинке (или резинке), другой — на нитке. Масса стержня равномерно распределена по его длине. Если нитку обрезать, то, казалось бы, нагрузка на резинку должна возрасти и конец стержня, к которому она привязана, должен тут же начать падать вниз. Однако на самом деле он, наоборот, «подпрыгивает». Укажите ошибку в рассуждениях и объясните, что на самом деле происходит.
Решение:
Обозначим массу стержня через $m$ и длину через $l$. Так как масса распределена по длине стержня равномерно, момент силы тяжести относительно центра стержня равен 0. Чтобы стержень не вращался вокруг своего центра, суммарный момент всех остальных сил (а это только силы натяжения пружинки и нитки) относительно центра стержня также должен быть равен 0, то есть эти силы натяжения равны (каждая из них, очевидно, равна $mg/2$).
Выясним, что будет происходить со стержнем сразу после перерезания нитки. Сила натяжения пружинки, очевидно, не изменится (она зависит только от длины пружинки) и останется равной $mg/2$. Сумма сил, действующих на стержень, будет равна $F = Mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$. Следовательно, центр (центр масс) стержня будет двигаться вниз с ускорением $a_{0} = F/m = \frac{mg}{2} / m = \frac{g}{2}$.
Вращательный момент $M$ относительно центра стержня создаётся только силой натяжения пружинки и равен $M = \frac{mg}{2} \frac{l}{2} = \frac{mgl}{4}$. Как известно, момент инерции (относительно центра масс) стержня длины $l$, имеющего равномерно распределённую по длине массу $m$, равен $I = \frac{1}{12} ml^{2}$. Угловое ускорение стержня (относительно центра стержня), создаваемое моментом силы натяжения пружинки, будет равно
$\dot{ \omega} = \frac{M}{I} = \frac{ \frac{mg}{2} \frac{l}{2} }{ \frac{1}{12} ml^{2} } = 3 \frac{g}{l}$
Линейное ускорение (в системе центра масс стержня) конца (к которому прикреплена пружинка) стержня, возникающее за счёт рассматриваемого вращательного движения, равно $a_{1} = \dot{ \omega } r = 3 \frac{g}{l} \frac{l}{2} = \frac{3}{2}g$. Ускорение конца стержня в системе отсчёта, связанной с Землёй, равно векторной сумме ускорений системы центра масс и ускорения в этой системе: $\vec{a} = \vec{a}_{0} + \vec{a}_{1} = \frac{1}{2} \vec{g} - \frac{3}{2} \vec{g} = - \vec{g}$. То есть в первый момент после перерезания нити ускорение конца стержня (к которому прикреплена пружина) направлено вверх, и, с учётом того, что начальная скорость равна 0, этот конец стержня должен двигаться вверх, что и наблюдается экспериментально.
Металлический стержень подвешен горизонтально за два конца: один конец — на пружинке (или резинке), другой — на нитке. Масса стержня равномерно распределена по его длине. Если нитку обрезать, то, казалось бы, нагрузка на резинку должна возрасти и конец стержня, к которому она привязана, должен тут же начать падать вниз. Однако на самом деле он, наоборот, «подпрыгивает». Укажите ошибку в рассуждениях и объясните, что на самом деле происходит.
Решение:
Обозначим массу стержня через $m$ и длину через $l$. Так как масса распределена по длине стержня равномерно, момент силы тяжести относительно центра стержня равен 0. Чтобы стержень не вращался вокруг своего центра, суммарный момент всех остальных сил (а это только силы натяжения пружинки и нитки) относительно центра стержня также должен быть равен 0, то есть эти силы натяжения равны (каждая из них, очевидно, равна $mg/2$).
Выясним, что будет происходить со стержнем сразу после перерезания нитки. Сила натяжения пружинки, очевидно, не изменится (она зависит только от длины пружинки) и останется равной $mg/2$. Сумма сил, действующих на стержень, будет равна $F = Mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$. Следовательно, центр (центр масс) стержня будет двигаться вниз с ускорением $a_{0} = F/m = \frac{mg}{2} / m = \frac{g}{2}$.
Вращательный момент $M$ относительно центра стержня создаётся только силой натяжения пружинки и равен $M = \frac{mg}{2} \frac{l}{2} = \frac{mgl}{4}$. Как известно, момент инерции (относительно центра масс) стержня длины $l$, имеющего равномерно распределённую по длине массу $m$, равен $I = \frac{1}{12} ml^{2}$. Угловое ускорение стержня (относительно центра стержня), создаваемое моментом силы натяжения пружинки, будет равно
$\dot{ \omega} = \frac{M}{I} = \frac{ \frac{mg}{2} \frac{l}{2} }{ \frac{1}{12} ml^{2} } = 3 \frac{g}{l}$
Линейное ускорение (в системе центра масс стержня) конца (к которому прикреплена пружинка) стержня, возникающее за счёт рассматриваемого вращательного движения, равно $a_{1} = \dot{ \omega } r = 3 \frac{g}{l} \frac{l}{2} = \frac{3}{2}g$. Ускорение конца стержня в системе отсчёта, связанной с Землёй, равно векторной сумме ускорений системы центра масс и ускорения в этой системе: $\vec{a} = \vec{a}_{0} + \vec{a}_{1} = \frac{1}{2} \vec{g} - \frac{3}{2} \vec{g} = - \vec{g}$. То есть в первый момент после перерезания нити ускорение конца стержня (к которому прикреплена пружина) направлено вверх, и, с учётом того, что начальная скорость равна 0, этот конец стержня должен двигаться вверх, что и наблюдается экспериментально.
