Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5514
2017-11-29 
Имеется схема с тремя выводами, состоящая только из резисторов (и проводов). Выводы пронумерованы: 1, 2, 3. Электрическое сопротивление, измеренное между выводами 1 и 2, равно $R_{12}$. Аналогично, сопротивление между выводами 1 и 3 равно $R_{13}$, сопротивление между выводами 2 и 3 равно $R_{23}$. Может ли оказаться, что $R_{13} > R_{12} + R_{23}$?
Решение:
Не может.
Решение. Создадим какую-нибудь ненулевую разность потенциалов между выводами 1 и 3. В результате в схеме возникнет какое-то распределение потенциалов. Соединим проводом (обозначим этот провод буквой P для удобства последующего упоминания) вывод 2 и все точки схемы, в которых потенциал такой же, как и на выводе 2. Если какие-то из этих точек оказываются «внутри» резистора — предварительно заменим все такие резисторы на цепочки из двух последовательно соединённых резисторов так, чтобы сумма сопротивлений была равна сопротивлению исходного резистора, а место их последовательного соединения имело нужный потенциал.
Соединение эквипотенциальных точек схемы проводом P (а также возможная предшествующая вышеупомянутая замена резисторов) никак не повлияет на сопротивление между точками 1 и 3.
Очевидно, что добавление провода в схему, состоящую только из резисторов, не может увеличить сопротивления между какими-либо точками схемы. В частности, $R_{12}$ и $R_{23}$ после выполнения вышеуказанных соединений не могли увеличиться (могли только остаться без изменений или уменьшиться). Обозначим эти новые значения через $R_{12}^{ \prime}$ и $R_{23}^{ \prime}$.
Также очевидно, что провод P делит схему на два фрагмента, в одном из которых находится точка 1, в другом — точка 3, и из одного фрагмента в другой, перемещаясь по элементам схемы, нельзя попасть, не побывав на проводах, имеющих непосредственное (минуя резисторы) электрическое соединение с проводом P. Это следует из условий, в соответствии с которыми мы подключали провод: чтобы попасть из точки с начальным значением потенциала в точку с конечным значением потенциала, обязательно придётся побывать в точке с заданным промежуточным значением потенциала, а все точки с одним из таких промежуточных значений мы как раз и соединили проводом P.
В результате схема между выводами 1 и 3 фактически распалась на два последовательно соединённых фрагмента. Сопротивления этих фрагментов $R_{12}^{ \prime}$ и $R_{23}^{ \prime}$ не превосходят $R_{12}$ и $R_{23}$. Соответственно, их сумма
$R_{13} = R_{12}^{ \prime} + R_{23}^{ \prime} \leq R_{12} + R_{23}$.
Имеется схема с тремя выводами, состоящая только из резисторов (и проводов). Выводы пронумерованы: 1, 2, 3. Электрическое сопротивление, измеренное между выводами 1 и 2, равно $R_{12}$. Аналогично, сопротивление между выводами 1 и 3 равно $R_{13}$, сопротивление между выводами 2 и 3 равно $R_{23}$. Может ли оказаться, что $R_{13} > R_{12} + R_{23}$?
Решение:
Не может.
Решение. Создадим какую-нибудь ненулевую разность потенциалов между выводами 1 и 3. В результате в схеме возникнет какое-то распределение потенциалов. Соединим проводом (обозначим этот провод буквой P для удобства последующего упоминания) вывод 2 и все точки схемы, в которых потенциал такой же, как и на выводе 2. Если какие-то из этих точек оказываются «внутри» резистора — предварительно заменим все такие резисторы на цепочки из двух последовательно соединённых резисторов так, чтобы сумма сопротивлений была равна сопротивлению исходного резистора, а место их последовательного соединения имело нужный потенциал.
Соединение эквипотенциальных точек схемы проводом P (а также возможная предшествующая вышеупомянутая замена резисторов) никак не повлияет на сопротивление между точками 1 и 3.
Очевидно, что добавление провода в схему, состоящую только из резисторов, не может увеличить сопротивления между какими-либо точками схемы. В частности, $R_{12}$ и $R_{23}$ после выполнения вышеуказанных соединений не могли увеличиться (могли только остаться без изменений или уменьшиться). Обозначим эти новые значения через $R_{12}^{ \prime}$ и $R_{23}^{ \prime}$.
Также очевидно, что провод P делит схему на два фрагмента, в одном из которых находится точка 1, в другом — точка 3, и из одного фрагмента в другой, перемещаясь по элементам схемы, нельзя попасть, не побывав на проводах, имеющих непосредственное (минуя резисторы) электрическое соединение с проводом P. Это следует из условий, в соответствии с которыми мы подключали провод: чтобы попасть из точки с начальным значением потенциала в точку с конечным значением потенциала, обязательно придётся побывать в точке с заданным промежуточным значением потенциала, а все точки с одним из таких промежуточных значений мы как раз и соединили проводом P.
В результате схема между выводами 1 и 3 фактически распалась на два последовательно соединённых фрагмента. Сопротивления этих фрагментов $R_{12}^{ \prime}$ и $R_{23}^{ \prime}$ не превосходят $R_{12}$ и $R_{23}$. Соответственно, их сумма
$R_{13} = R_{12}^{ \prime} + R_{23}^{ \prime} \leq R_{12} + R_{23}$.
