Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5513
2017-11-29 
Тело, не имеющее начальной скорости, начинает двигаться по прямолинейной траектории с переменным ускорением $a$, которое в каждой точке траектории пропорционально расстоянию $x$ от данной точки до места начала движения (то есть $a(x) = Kx$). Найти зависимость скорости тела $v$ от пройденного пути $x$.
Решение:
Замечание. Условие задачи сформулировано не очень аккуратно. Упомянутое в условии задачи тело в начальный момент времени находится в состоянии равновесия (впрочем, неустойчивого) и само по себе никуда двигаться не начнёт.
Придумаем какой-нибудь способ перемещения тела в соответствии с указанными в задаче условиями. Пусть тело имеет массу $m > 0$. Будем действовать на это тело с переменной силой $F$. Как известно, $F = ma$. Следовательно,
$a = \frac{F}{m} = Kx \Rightarrow F(x) = Kmx$
Работа, совершённая такой силой к моменту, когда тело окажется в точке с координатой $x$, равна
$A = \frac{1}{2} ( F(0) + F(x)) \cdot x = \frac{1}{2} Kmx \cdot x = \frac{Kmx^{2}}{2}$
Эта работа равна кинетической энергии тела $E_{к} = \frac{mv^{2}}{2}$
Приравнивая выражения для работы силы и кинетической энергии, найдём скорость.
$\frac{mv^{2}}{2}= \frac{kx^{2} }{2} \Rightarrow v^{2} = Kx^{2} \Rightarrow v(x) = \sqrt{K} x$
Этот ответ может показаться несколько удивительным: оказывается, если ускорение пропорционально расстоянию, то скорость увеличивается «не слишком быстро», а тоже оказывается пропорциональной расстоянию.
Тело, не имеющее начальной скорости, начинает двигаться по прямолинейной траектории с переменным ускорением $a$, которое в каждой точке траектории пропорционально расстоянию $x$ от данной точки до места начала движения (то есть $a(x) = Kx$). Найти зависимость скорости тела $v$ от пройденного пути $x$.
Решение:
Замечание. Условие задачи сформулировано не очень аккуратно. Упомянутое в условии задачи тело в начальный момент времени находится в состоянии равновесия (впрочем, неустойчивого) и само по себе никуда двигаться не начнёт.
Придумаем какой-нибудь способ перемещения тела в соответствии с указанными в задаче условиями. Пусть тело имеет массу $m > 0$. Будем действовать на это тело с переменной силой $F$. Как известно, $F = ma$. Следовательно,
$a = \frac{F}{m} = Kx \Rightarrow F(x) = Kmx$
Работа, совершённая такой силой к моменту, когда тело окажется в точке с координатой $x$, равна
$A = \frac{1}{2} ( F(0) + F(x)) \cdot x = \frac{1}{2} Kmx \cdot x = \frac{Kmx^{2}}{2}$
Эта работа равна кинетической энергии тела $E_{к} = \frac{mv^{2}}{2}$
Приравнивая выражения для работы силы и кинетической энергии, найдём скорость.
$\frac{mv^{2}}{2}= \frac{kx^{2} }{2} \Rightarrow v^{2} = Kx^{2} \Rightarrow v(x) = \sqrt{K} x$
Этот ответ может показаться несколько удивительным: оказывается, если ускорение пропорционально расстоянию, то скорость увеличивается «не слишком быстро», а тоже оказывается пропорциональной расстоянию.
