Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5505
2017-11-29 
В вертикальной плотине сделали два отверстия, находящихся на одной вертикальной прямой на расстоянии $h_{1}$ и $h_{2}$ от поверхности воды перед плотиной соответственно ($h_{1} < h_{2}$). Считать, что струя воды через отверстия вытекает горизонтально со скоростью $\sqrt{2gh}$. Найти, на каком расстоянии от поверхности воды струи пересекаются друг с другом.
Решение:
Рассмотрим две частицы воды: вылетевшую из отверстия, расположенного на расстоянии $h_{1}$ от поверхности воды и вылетевшую из отверстия, расположенного на расстоянии $h_{2}$ от поверхности воды.
Пусть эти частицы встретились (в точке пересечения струй), времена их нахождения в свободном полёте до момента встречи обозначим через $t_{1}$ и $t_{2}$ соответственно.
Горизонтальные составляющие скоростей частиц со временем не меняются, а вертикальные — равномерно увеличиваются (ускорение $g$).
Чтобы частицы встретились, они одновременно должны оказаться и на одинаковом расстоянии от плотины, и на одинаковом расстоянии от поверхности воды. Составим и решим соответствующую систему уравнений.
То есть именно на таком расстоянии от поверхности воды и расположена точка пересечения струй.
$t_{1} \sqrt{2gh_{1} } = t_{2} \sqrt{2 gh_{2}}; h_{1} + \frac{gt_{1}^{2} }{2} = h_{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2}$
$t_{1} \sqrt{h_{1} } = t_{2} \sqrt{h_{2} }; h_{1} + \frac{gt_{1}^{2} }{2} = h_{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2}$
$t_{1}^{2} h_{1} = t_{2}^{2} h_{2}; h_{2} - h_{1} = \frac{gt_{1}^{2} }{2} - \frac{gt_{2}^{2} }{2}$
$t_{2}^{2} = t_{1}^{2} \frac{h_{1}}{h_{2} }; h_{2} - h_{1} = \frac{g}{2} (t_{1}^{2} - t_{2}^{2} )$
$t_{2}^{2} = t_{1}^{2} \frac{h_{1}}{h_{2} }; h_{2} - h_{1} = \frac{g}{2} \left ( t_{1}^{2} - t_{2}^{2} \frac{h_{} }{h_{2} } \right )$
$h_{2} - h_{1} = \frac{g}{2} \left ( 1 - \frac{h_{1}}{h_{2} } \right ) t_{1}^{2}$
$h_{2} - h_{1} = \frac{g}{2} \frac{h_{2} - h_{1} }{h_{2} } t_{1}^{2}$
$t_{1}^{2} = (h_{2} - h_{1}) \frac{2}{g} \frac{h_{2} }{h_{2} - h_{1} } = \frac{2h_{2} }{g}$
Мы нашли время нахождения в полёте первой частицы. В момент вылета из отверстия она находилась на расстоянии $h_{1}$ от поверхности воды, а через время $t_{1}$ после этого окажется от поверхности воды на расстоянии
$H = h_{1} + \frac{1}{2} gt_{1}^{2} = h_{1} + \frac{1}{2}g \frac{2h_{2} }{g} = h_{1} + h_{2}$
Замечание. Формула скорости истечения жидкости из отверстия $v = \sqrt{2gh}$ соответствует идеализированной ситуации. Реально числовой коэффициент зависит от того, как именно устроены потоки жидкости в сосуде рядом с отверстием, что в значительной степени определяется геометрией отверстия, в частности, для одинаковых отверстий эти коэффициенты скорее всего окажутся близкими. Обратите внимание, что в ответ нашей задачи числовые коэффициенты, а также значение ускорения свободного падения $g$ не вошли, то есть величина $H$ от них не зависит.
В вертикальной плотине сделали два отверстия, находящихся на одной вертикальной прямой на расстоянии $h_{1}$ и $h_{2}$ от поверхности воды перед плотиной соответственно ($h_{1} < h_{2}$). Считать, что струя воды через отверстия вытекает горизонтально со скоростью $\sqrt{2gh}$. Найти, на каком расстоянии от поверхности воды струи пересекаются друг с другом.
Решение:
Рассмотрим две частицы воды: вылетевшую из отверстия, расположенного на расстоянии $h_{1}$ от поверхности воды и вылетевшую из отверстия, расположенного на расстоянии $h_{2}$ от поверхности воды.
Пусть эти частицы встретились (в точке пересечения струй), времена их нахождения в свободном полёте до момента встречи обозначим через $t_{1}$ и $t_{2}$ соответственно.
Горизонтальные составляющие скоростей частиц со временем не меняются, а вертикальные — равномерно увеличиваются (ускорение $g$).
Чтобы частицы встретились, они одновременно должны оказаться и на одинаковом расстоянии от плотины, и на одинаковом расстоянии от поверхности воды. Составим и решим соответствующую систему уравнений.
То есть именно на таком расстоянии от поверхности воды и расположена точка пересечения струй.
$t_{1} \sqrt{2gh_{1} } = t_{2} \sqrt{2 gh_{2}}; h_{1} + \frac{gt_{1}^{2} }{2} = h_{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2}$
$t_{1} \sqrt{h_{1} } = t_{2} \sqrt{h_{2} }; h_{1} + \frac{gt_{1}^{2} }{2} = h_{2} + \frac{gt_{2}^{2} }{2}$
$t_{1}^{2} h_{1} = t_{2}^{2} h_{2}; h_{2} - h_{1} = \frac{gt_{1}^{2} }{2} - \frac{gt_{2}^{2} }{2}$
$t_{2}^{2} = t_{1}^{2} \frac{h_{1}}{h_{2} }; h_{2} - h_{1} = \frac{g}{2} (t_{1}^{2} - t_{2}^{2} )$
$t_{2}^{2} = t_{1}^{2} \frac{h_{1}}{h_{2} }; h_{2} - h_{1} = \frac{g}{2} \left ( t_{1}^{2} - t_{2}^{2} \frac{h_{} }{h_{2} } \right )$
$h_{2} - h_{1} = \frac{g}{2} \left ( 1 - \frac{h_{1}}{h_{2} } \right ) t_{1}^{2}$
$h_{2} - h_{1} = \frac{g}{2} \frac{h_{2} - h_{1} }{h_{2} } t_{1}^{2}$
$t_{1}^{2} = (h_{2} - h_{1}) \frac{2}{g} \frac{h_{2} }{h_{2} - h_{1} } = \frac{2h_{2} }{g}$
Мы нашли время нахождения в полёте первой частицы. В момент вылета из отверстия она находилась на расстоянии $h_{1}$ от поверхности воды, а через время $t_{1}$ после этого окажется от поверхности воды на расстоянии
$H = h_{1} + \frac{1}{2} gt_{1}^{2} = h_{1} + \frac{1}{2}g \frac{2h_{2} }{g} = h_{1} + h_{2}$
Замечание. Формула скорости истечения жидкости из отверстия $v = \sqrt{2gh}$ соответствует идеализированной ситуации. Реально числовой коэффициент зависит от того, как именно устроены потоки жидкости в сосуде рядом с отверстием, что в значительной степени определяется геометрией отверстия, в частности, для одинаковых отверстий эти коэффициенты скорее всего окажутся близкими. Обратите внимание, что в ответ нашей задачи числовые коэффициенты, а также значение ускорения свободного падения $g$ не вошли, то есть величина $H$ от них не зависит.
