2014-06-01
Колечко массой $m$, свободно скрепляющее два тонких одинаковых обруча массой $M$ каждый, начинает соскальзывать вниз; обручи при этом разъезжаются в разные стороны по шероховатой горизонтальной поверхности.
Определите ускорение $a$ колечка в начальный момент времени, если $\angle AO_{1}O_{2} = \alpha$ (рис.). Трением между колечком и обручами пренебречь.
Решение:
Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ после начала движения системы колечко опустилось на расстояние $\Delta x$ от точки А и приобрело скорость $v$ (рис.). Скорость поступательного движения обручей в этот момент должна быть равна $u = v tg\: \alpha$ ($\Delta t$ настолько мало, что угол $\alpha$ практически не изменился). Следовательно, такова же линейная скорость всех точек обручей. Согласно закону сохранения энергии,
$mg \Delta x = 2 Mu^{2} + mv^{2}/2 = 2 M v^{2} tg^{2} \: \alpha + mv^{2}/2$,
где $Mu^{2}$ - кинетическая энергия каждою обруча в данный момент. Из этого равенства находим
$\frac{v^{2}}{2 \Delta x} =\frac{m}{4M tg^{2} \: \alpha + m} g = \frac{1}{ 1 + 4 (M/m) tg^{2} \: \alpha} g$.
При $\Delta x \rightarrow 0$ можно считать, что $v^{2}=2a \Delta x$, где $a$ - ускорение колечка в начальный момент времени. Следовательно,
$a = \frac{1}{1 + 4 (M/m) tg^{2} \: \alpha } g$.